2023 AMC 12A 第 20 题

Question

下方展示了一个整数三角形阵列的第

1

，

2

，

3

，

4

和

5

行。

\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}

第一行之后，每一行都在两端放置

1

，每个内部项比上一行中斜上方两个数之和大

1

。第

2023

行的

2023

个数之和的个位数字是多少？

Rows

1,

2,

3,

4,

and

5

of a triangular array of integers are shown below.

\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}

Each row after the first row is formed by placing a

1

at each end of the row, and each interior entry is

1

greater than the sum of the two numbers diagonally above it in the previous row. What is the units digit of the sum of the

2023

numbers in the

2023

rd row?

1

3

5

7

9

答案：C

知识点：递推个位数字

难度评级：2110

小提示：

设

S_n

为第

n

行的和；每个内部项贡献上一行的两个副本再加

1

Let

S_n

be the sum of row

n;

each interior entry adds two copies of the row above plus a

1

大提示：

得到

S_n=2S_{n-1}+(n-2)

，其闭式为

S_n=2^n-n

。

This yields

S_n=2S_{n-1}+(n-2),

whose closed form is

S_n=2^n-n

解答：

设

S_n

为第

n

行的和。每个内部项比上一行斜上方两个项之和大

1

，对整行求和得到递推

S_n=2S_{n-1}+(n-2)\text{。}

由

S_1=1

，可解得

S_n=2^n-n

（检验：

S_5=32-5=27

=1+7+11+7+1

）。

所以

S_{2023}=2^{2023}-2023

。

2

的幂的个位数字按

2,4,8,6

循环，且

2023\equiv 3\pmod 4

，所以

2^{2023}

的个位是

8

。于是

8-3=5

个位数字为

5

。

所以正确答案是 C。

Let

S_n

be the sum of row

n.

Each interior entry is

1

more than the sum of the two entries above it, and summing over the row gives the recurrence

S_n=2S_{n-1}+(n-2).

With

S_1=1,

this solves to

S_n=2^n-n

(check:

S_5=32-5=27

=1+7+11+7+1

).

So

S_{2023}=2^{2023}-2023.

Since powers of

2

cycle with units digits

2,4,8,6

and

2023\equiv 3\pmod 4,

2^{2023}

ends in

8.

Then

8-3=5

gives units digit

5.

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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