Question

下方展示了一个整数三角形阵列的第 $1,2,3,4$ 和 $5$ 行。

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}$

第一行之后，每一行都在两端放置 $1$ ，每个内部项比上一行中斜上方两个数之和大 $1$ 。第 $2023$ 行的 $2023$ 个数之和的个位数字是多少？

Rows $1,2,3,4,$ and $5$ of a triangular array of integers are shown below.

$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&3&&1&&\\ &1&&5&&5&&1&\\ 1&&7&&11&&7&&1 \end{array}$

Each row after the first row is formed by placing a $1$ at each end of the row, and each interior entry is $1$ greater than the sum of the two numbers diagonally above it in the previous row. What is the units digit of the sum of the $2023$ numbers in the $2023$ rd row?

$1$

$3$

$5$

$7$

$9$

答案：C

知识点：递推个位数字

难度评级：2110

解答：

设 $S_n$ 为第 $n$ 行的和。每个内部项比上一行斜上方两个项之和大 $1$ ，对整行求和得到递推 $S_n=2S_{n-1}+(n-2).$

由 $S_1=1$ ，可解得 $S_n=2^n-n$ （检验： $S_5=32-5=27$ $=1+7+11+7+1$ ）。

所以 $S_{2023}=2^{2023}-2023$ 。 $2$ 的幂的个位数字按 $2,4,8,6$ 循环，且 $2023\equiv 3\pmod 4$ ，所以 $2^{2023}$ 的个位是 $8$ 。于是 $8-3=5$ 个位数字为 $5$ 。

所以正确答案是 C。

Let $S_n$ be the sum of row $n.$ Each interior entry is $1$ more than the sum of the two entries above it, and summing over the row gives the recurrence $S_n=2S_{n-1}+(n-2).$

With $S_1=1,$ this solves to $S_n=2^n-n$ (check: $S_5=32-5=27$ $=1+7+11+7+1$ ).

So $S_{2023}=2^{2023}-2023.$ Since powers of $2$ cycle with units digits $2,4,8,6$ and $2023\equiv 3\pmod 4,$ $2^{2023}$ ends in $8.$ Then $8-3=5$ gives units digit $5.$

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 20 题