2021 AMC 12A Fall 第 20 题

Question

对每个正整数

n

，令

f_1(n)

为

n

的正整数因数个数的两倍；对

j \ge 2

，令

f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n))

。有多少个

n \le 50

满足

f_{50}(n) = 12

？

For each positive integer

n,

let

f_1(n)

be twice the number of positive integer divisors of

n,

and for

j \ge 2,

let

f_j(n) = f_1(f_{j-1}(n)).

For how many values of

n \le 50

is

f_{50}(n) = 12?

7

8

9

10

11

答案：D

知识点：因数个数递推

难度评级：2110

小提示：

f_1(12) = 2\cdot 6 = 12

，所以

12

是不动点；

f_1(8) = 2\cdot 4 = 8

也是不动点

f_1(12) = 2\cdot 6 = 12,

so

12

is a fixed point;

f_1(8) = 2\cdot 4 = 8

is another

大提示：

足够多步之后，每个

n

都会落到

8

或

12

；数出轨道到达

12

的那些

After enough steps every

n

lands on

8

or

12;

count those whose orbit reaches

12

解答：

8

和

12

都是不动点。对

n\le50

，第一个值

f_1(n)=2d(n)

至多为

20

。检查不超过

20

的偶数可知，一个轨道恰好在第一个值为

12,18

或

20

时到达

12

。所以需要

d(n)=6,9

或

10

。

不超过

50

且有

6

个因数的数是

12,18,20,28,32,44,45,50

；有

9

个因数的唯一一个数是

36

，有

10

个因数的唯一一个数是

48

。这

10

个值都到达不动点

12

。

因此，正确答案是 D。

Both

8

and

12

are fixed. For

n\le50,

the first value

f_1(n)=2d(n)

is at most

20.

Checking the even values through

20

shows that an orbit reaches

12

exactly when its first value is

12,18,

or

20.

Thus we need

d(n)=6,9,

or

10.

The numbers at most

50

with

6

divisors are

12,18,20,28,32,44,45,50;

the only one with

9

divisors is

36,

and the only one with

10

divisors is

48.

These

10

values all reach the fixed point

12.

Thus, the correct answer is D.

2021 AMC 12A Fall 第 20 题

答案：D

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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