2015 AMC 12A 第 20 题

Question

等腰三角形

T

和

T'

不全等，但面积和周长都相同。

T

的三边长为

5

、

5

和

8

，而

T'

的三边长为

a

、

a

和

b

。下列哪个数最接近

b

？

Isosceles triangles

T

and

T'

are not congruent but have the same area and the same perimeter. The sides of

T

have lengths

5,

5,

and

8,

while those of

T'

have lengths

a,

a,

and

b.

Which of the following numbers is closest to

b?

3

4

5

6

8

答案：A

知识点：等腰三角形方程组多项式

难度评级：2110

小提示：

T

的周长为

18

，面积为

12

；为

T'

写出同样的两个条件

T

has perimeter

18

and area

12;

write those same two conditions for

T'

大提示：

用

2a + b = 18

消去

a

；会得到一个三次式，其中可分解出对应全等情形的根

b = 8

Eliminate

a

using

2a + b = 18;

you reach a cubic with the extraneous root

b = 8

to factor out

解答：

T

到底边

8

的高为

\sqrt{5^2 - 4^2} = 3

，所以

T

的面积为

\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12

，周长为

18

。

对

T'

，需要

2a + b = 18

，且面积

\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12

。代入

a = \dfrac{18 - b}{2}

并平方，可得

(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0\text{。}

因为

T

和

T'

不全等，

b \ne 8

，所以

b^2 - b - 8 = 0

，且

b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}

。因为

25 \lt 33 \lt 36

，这个数介于

3

和

3.5

之间，所以最接近的整数是

3

。

因此，正确答案是 A。

The altitude of

T

to its base of length

8

is

\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,

so

T

has area

\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12

and perimeter

18.

For

T'

we need

2a + b = 18

and area

\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.

Substituting

a = \dfrac{18 - b}{2}

and squaring leads to

(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.

Since

T

and

T'

are not congruent,

b \ne 8,

so

b^2 - b - 8 = 0

and

b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.

Because

25 \lt 33 \lt 36,

this is between

3

and

3.5,

so the closest integer is

3.

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A 第 20 题

答案：A

难度评级：2110

小提示：

大提示：

解答：

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