Question

等腰三角形 $T$ 和 $T'$ 不全等，但面积和周长都相同。 $T$ 的三边长为 $5$ 、 $5$ 和 $8$ ，而 $T'$ 的三边长为 $a$ 、 $a$ 和 $b$ 。下列哪个数最接近 $b$ ？

Isosceles triangles $T$ and $T'$ are not congruent but have the same area and the same perimeter. The sides of $T$ have lengths $5,$ $5,$ and $8,$ while those of $T'$ have lengths $a,$ $a,$ and $b.$ Which of the following numbers is closest to $b?$

$3$

$4$

$5$

$6$

$8$

答案：A

知识点：等腰三角形方程组多项式

难度评级：2110

解答：

$T$ 到底边 $8$ 的高为 $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3$ ，所以 $T$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12$ ，周长为 $18$ 。

对 $T'$ ，需要 $2a + b = 18$ ，且面积 $\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12$ 。代入 $a = \dfrac{18 - b}{2}$ 并平方，可得 $(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.$

因为 $T$ 和 $T'$ 不全等， $b \ne 8$ ，所以 $b^2 - b - 8 = 0$ ，且 $b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}$ 。因为 $25 \lt 33 \lt 36$ ，这个数介于 $3$ 和 $3.5$ 之间，所以最接近的整数是 $3$ 。

因此，正确答案是 A。

The altitude of $T$ to its base of length $8$ is $\sqrt{5^2 - 4^2} = 3,$ so $T$ has area $\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 3 = 12$ and perimeter $18.$

For $T'$ we need $2a + b = 18$ and area $\dfrac{1}{4}b\sqrt{4a^2 - b^2} = 12.$ Substituting $a = \dfrac{18 - b}{2}$ and squaring leads to $(b - 8)(b^2 - b - 8) = 0.$

Since $T$ and $T'$ are not congruent, $b \ne 8,$ so $b^2 - b - 8 = 0$ and $b = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2}.$ Because $25 \lt 33 \lt 36,$ this is between $3$ and $3.5,$ so the closest integer is $3.$

Thus, the correct answer is A.

2015 AMC 12A 第 20 题

答案：A

难度评级：2110

解答：

其他年份的第 20 题