2005 AMC 12B 第 20 题

Question

设

a

、

b

、

c

、

d

、

e

、

f

、

g

和

h

是下面集合中互不相同的元素：

\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}\text{。}

下式的最小可能值是多少

\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2 \end{aligned}\text{？}

Let

a,

b,

c,

d,

e,

f,

g

and

h

be distinct elements in the set

\{-7, -5, -3, -2, 2, 4, 6, 13\}.

What is the minimum possible value of

\begin{aligned} &(a + b + c + d)^2 \\ &\quad {}+ (e + f + g + h)^2? \end{aligned}

30

32

34

40

50

答案：C

知识点：最优化配方法

难度评级：1910

小提示：

整个集合和为

8

，所以若一组和为

x

，另一组和为

8 - x

。

The whole set sums to

8,

so if one group sums to

x,

the other sums to

8 - x

大提示：

x^2 + (8-x)^2 = 2(x-4)^2 + 32

；检查

x = 4

是否能达到。

x^2 + (8-x)^2 = 2(x-4)^2 + 32

; check whether

x = 4

is actually attainable

解答：

所有元素的和为

8

。若

a + b + c + d = x

，则

e + f + g + h = 8 - x

，所以

x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32\text{。}

该式在

x = 4

时取得最小值

32

。但是

13

必须在某一组中，而其余元素中没有三个数能与

13

相加得到

4

（这要求三个数之和为

-9

）。若包含

-7

，另两个数需要和为

-2

，但没有可用数对满足；若不包含

-7

，把

-5-3-2=-10

中任一项替换都会使和超过

-9

。所以

x = 4

无法达到，且

(x - 4)^2 \ge 1

。

最小值为

2(1) + 32 = 34

，例如分组

\{-7, -5, 2, 13\}

（和为

3

）与

\{-3, -2, 4, 6\}

（和为

5

）可以达到。

所以正确答案是 C。

The elements sum to

8.

If

a + b + c + d = x,

then

e + f + g + h = 8 - x,

so

x^2 + (8 - x)^2 = 2(x - 4)^2 + 32.

This is minimized when

x = 4,

giving

32.

But

13

must lie in one group, and no three of the remaining elements add with

13

to make

4

(that would need three of them to sum to

-9

). With

-7,

the other two would need to sum to

-2,

which no available pair does; without

-7,

replacing any term in

-5-3-2=-10

raises the sum past

-9.

So

x = 4

is unattainable and

(x - 4)^2 \ge 1.

The minimum is

2(1) + 32 = 34,

achieved for instance by

\{-7, -5, 2, 13\}

(sum

3

) and

\{-3, -2, 4, 6\}