2002 AMC 12A 第 20 题

Question

设

a

和

b

是数字，不同时为九也不同时为零，循环小数

0.\overline{ab}

被化为最简分数。可能出现多少个不同的分母？

Suppose that

a

and

b

are digits, not both nine and not both zero, and the repeating decimal

0.\overline{ab}

is expressed as a fraction in lowest terms. How many different denominators are possible?

3

4

5

8

9

答案：C

知识点：循环小数因数

难度评级：1630

小提示：

0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

，其中

\overline{ab}

表示这个两位数。

0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

where

\overline{ab}

is the two-digit value

大提示：

最简形式的分母是

99 = 3^2\cdot 11

的因数；排除

1

，因为

a, b

不同时为

9

。

In lowest terms the denominator is a divisor of

99 = 3^2\cdot 11;

exclude

1

since

a, b

are not both

9

解答：

因为

0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99}

，最简分母必须整除

99 = 3^2\cdot 11

。它的因数为

1, 3, 9, 11, 33, 99

。

分母为

1

会要求

\overline{ab} = 99

，即

a = b = 9

，但这种情况被排除。其余各个分母都能达到：分子

33, 11, 9, 3

和

1

分别约分后得到分母

3, 9, 11, 33

和

99

，所以共有

5

种可能的分母。

所以正确答案是 C。

Since

0.\overline{ab} = \dfrac{\overline{ab}}{99},

the reduced denominator divides

99 = 3^2\cdot 11.

The divisors are

1, 3, 9, 11, 33, 99.

The denominator

1

would require

\overline{ab} = 99,

i.e.

a = b = 9,

which is excluded. Each is achievable: numerators

33, 11, 9, 3,

and

1

reduce to denominators

3, 9, 11, 33,

and

99,

respectively. Thus there are

5

possible denominators.

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A 第 20 题

答案：C

难度评级：1630

小提示：

大提示：

解答：

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