2025 AMC 12B Problema 15

Question

Un recipiente tiene una base cuadrada de

1 \times 1

, una abertura cuadrada superior de

3 \times 3

y cuatro caras trapezoidales congruentes, como se muestra. Empezando con el recipiente vacío, una manguera que suministra agua a ritmo constante tarda

35

minutos en llenar el recipiente hasta la línea media de los trapecios.

¿Cuántos minutos más tardará en llenar el resto del recipiente?

A container has a

1 \times 1

square bottom, a

3 \times 3

open square top, and four congruent trapezoidal sides, as shown. Starting when the container is empty, a hose that runs water at a constant rate takes

35

minutes to fill the container up to the midline of the trapezoids.

How many more minutes will it take to fill the remainder of the container?

70

85

90

95

105

Respuesta: D

Conceptos:volumen semejanza razón y proporción

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

A la fracción de altura

t

la sección transversal es un cuadrado de lado

1 + 2t,

así que su área es

(1 + 2t)^2

At height fraction

t

the cross-section is a square of side

1 + 2t,

so its area is

(1 + 2t)^2

Pista grande:

Compara el volumen hasta la línea media (

t = \tfrac{1}{2}

) con el volumen total; el tiempo de llenado es proporcional al volumen.

Compare the volume up to the midline (

t = \tfrac{1}{2}

) with the total volume; fill time is proportional to volume

Solución:

A la fracción de altura

t

la sección cuadrada tiene lado

1 + 2t,

así que el volumen llenado hasta la altura

t

es

\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.

Hasta la línea media

\left(t = \tfrac{1}{2}\right)

esto es

\tfrac{7}{6},

y el volumen total es

\tfrac{13}{3}.

El volumen restante es

\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},

que es

\tfrac{19}{7}

veces la primera parte, así que el resto tarda

35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95

minutos más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At height fraction

t

the square cross-section has side

1 + 2t,

so the volume filled up to height

t

is

\int_0^t (1 + 2u)^2\,du.

Up to the midline

\left(t = \tfrac{1}{2}\right)

this is

\tfrac{7}{6},

and the full volume is

\tfrac{13}{3}.

The remaining volume is

\tfrac{13}{3} - \tfrac{7}{6} = \tfrac{19}{6},

which is

\tfrac{19}{7}

times the first part. So the remainder takes

35 \cdot \tfrac{19}{7} = 95

more minutes.

Thus, the correct answer is D.