2025 AMC 12A Problema 5

Question

En la figura de abajo, el cuadrado exterior contiene infinitos cuadrados, cada uno de ellos con el mismo centro y lados paralelos al cuadrado exterior. La razón entre la longitud del lado de un cuadrado y la longitud del lado del siguiente cuadrado interior es

k,

donde

0 \lt k \lt 1.

Los espacios entre los cuadrados están sombreados de forma alterna, como se muestra en la figura (que no está necesariamente dibujada a escala).

El área de la parte sombreada de la figura es el

64\%

del área del cuadrado original. ¿Cuánto vale

k

?

In the figure below, the outside square contains infinitely many squares, each of them with the same center and sides parallel to the outside square. The ratio of the side length of a square to the side length of the next inner square is

k,

where

0 \lt k \lt 1.

The spaces between squares are alternately shaded, as shown in the figure (which is not necessarily drawn to scale).

The area of the shaded portion of the figure is

64\%

of the area of the original square. What is

k?

\dfrac{3}{5}

\dfrac{16}{25}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

\dfrac{4}{5}

Respuesta: D

Conceptos:sucesión geométrica razón de áreas

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Toma el cuadrado exterior con área

1

; los cuadrados tienen áreas

1, k^2, k^4, \ldots

Take the outer square to have area

1

; the squares have areas

1, k^2, k^4, \ldots

Pista grande:

Los anillos sombreados forman una serie geométrica que suma

\dfrac{1}{1+k^2}

The shaded rings form a geometric series that sums to

\dfrac{1}{1+k^2}

Solución:

Supongamos que el cuadrado exterior tiene área

1.

Los cuadrados anidados tienen áreas

1, k^2, k^4, \ldots,

así que el anillo entre el

n

-ésimo cuadrado y el

(n+1)

-ésimo tiene área

k^{2n}(1-k^2).

Los anillos sombreados son los alternos

n = 0, 2, 4, \ldots,

con área total

\begin{aligned} \sum_{j=0}^{\infty} k^{4j}(1-k^2) &= \frac{1-k^2}{1-k^4} \\ &= \frac{1}{1+k^2}. \end{aligned}

Igualando

\dfrac{1}{1+k^2} = \dfrac{16}{25}

se obtiene

1 + k^2 = \dfrac{25}{16},

así que

k^2 = \dfrac{9}{16}

y

k = \dfrac{3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the outer square have area

1.

The nested squares have areas

1, k^2, k^4, \ldots,

so the ring between the

n

th and

(n+1)

th squares has area

k^{2n}(1-k^2).

The shaded rings are the alternate ones

n = 0, 2, 4, \ldots,

with total area

\begin{aligned} \sum_{j=0}^{\infty} k^{4j}(1-k^2) &= \frac{1-k^2}{1-k^4} \\ &= \frac{1}{1+k^2}. \end{aligned}

Setting

\dfrac{1}{1+k^2} = \dfrac{16}{25}

gives

1 + k^2 = \dfrac{25}{16},

so

k^2 = \dfrac{9}{16}

and

k = \dfrac{3}{4}.

Thus, the correct answer is D.