2024 AMC 12A Problema 6

Question

El producto de tres enteros es

60.

¿Cuál es la menor suma positiva posible de los tres enteros?

The product of three integers is

60.

What is the least possible positive sum of the three integers?

2

3

5

6

13

Respuesta: B

Conceptos:factor optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Los enteros pueden ser negativos; el producto sigue siendo positivo con dos factores negativos

Integers may be negative; the product stays positive with two negative factors

Pista grande:

Escribiendo los números como

-p,-q,r

con

pqr=60,

minimiza

r-p-q

manteniéndolo positivo

Writing the numbers as

-p,-q,r

with

pqr=60,

minimize

r-p-q

while keeping it positive

Solución:

Para obtener una suma positiva pequeña, usamos dos enteros negativos

-p,-q

y uno positivo

r,

donde

pqr=60.

Salvo el orden, las ternas de factores positivos de

60

son

\begin{gathered} (1,1,60),(1,2,30),\\ (1,3,20),(1,4,15),\\ (1,5,12),(1,6,10),\\ (2,2,15),(2,3,10),\\ (2,5,6),(3,4,5). \end{gathered}

Un valor positivo de

r-p-q

es mínimo cuando elegimos como

r

el factor mayor. Los valores positivos de la lista son

58,27,16,10,6,3,11,5;

las dos últimas ternas dan valores negativos. Por tanto, la menor suma positiva es

10-1-6=3.

(Tres enteros positivos tienen suma al menos

3,

y tres enteros negativos no pueden tener producto positivo). Así, la respuesta correcta es B.

To obtain a small positive sum, use two negative integers

-p,-q

and one positive integer

r,

where

pqr=60.

Up to order, the positive factor triples of

60

are

\begin{gathered} (1,1,60),(1,2,30),\\ (1,3,20),(1,4,15),\\ (1,5,12),(1,6,10),\\ (2,2,15),(2,3,10),\\ (2,5,6),(3,4,5). \end{gathered}

A positive value of

r-p-q

is smallest when the largest factor is chosen as

r.

The positive values from the list are

58,27,16,10,6,3,11,5;

the last two triples give negative values. Thus the least positive sum is

10-1-6=3.

(Three positive integers have sum at least

3,

and three negative integers cannot have positive product.) Thus, the correct answer is B.