Question

El producto de tres enteros es $60.$ ¿Cuál es la menor suma positiva posible de los tres enteros?

The product of three integers is $60.$ What is the least possible positive sum of the three integers?

$2$

$3$

$5$

$6$

$13$

Respuesta: B

Conceptos:factor optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

Para obtener una suma positiva pequeña, usamos dos enteros negativos $-p,-q$ y uno positivo $r,$ donde $pqr=60.$ Salvo el orden, las ternas de factores positivos de $60$ son $\begin{gathered} (1,1,60),(1,2,30),\\ (1,3,20),(1,4,15),\\ (1,5,12),(1,6,10),\\ (2,2,15),(2,3,10),\\ (2,5,6),(3,4,5). \end{gathered}$ Un valor positivo de $r-p-q$ es mínimo cuando elegimos como $r$ el factor mayor. Los valores positivos de la lista son $58,27,16,10,6,3,11,5;$ las dos últimas ternas dan valores negativos. Por tanto, la menor suma positiva es $10-1-6=3.$ (Tres enteros positivos tienen suma al menos $3,$ y tres enteros negativos no pueden tener producto positivo). Así, la respuesta correcta es B.

To obtain a small positive sum, use two negative integers $-p,-q$ and one positive integer $r,$ where $pqr=60.$ Up to order, the positive factor triples of $60$ are $\begin{gathered} (1,1,60),(1,2,30),\\ (1,3,20),(1,4,15),\\ (1,5,12),(1,6,10),\\ (2,2,15),(2,3,10),\\ (2,5,6),(3,4,5). \end{gathered}$ A positive value of $r-p-q$ is smallest when the largest factor is chosen as $r.$ The positive values from the list are $58,27,16,10,6,3,11,5;$ the last two triples give negative values. Thus the least positive sum is $10-1-6=3.$ (Three positive integers have sum at least $3,$ and three negative integers cannot have positive product.) Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12A Problema 6

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1350

Solución:

El Problema 6 en otros años