2023 AMC 12A Problema 6

Question

Los puntos

A

y

B

están en la gráfica de

y=\log_2 x.

El punto medio de

\overline{AB}

es

(6,2).

¿Cuál es la diferencia positiva entre las coordenadas

x

de

A

y

B

?

Points

A

and

B

lie on the graph of

y=\log_2 x.

The midpoint of

\overline{AB}

is

(6,2).

What is the positive difference between the

x

-coordinates of

A

and

B?

2\sqrt{11}

4\sqrt{3}

8

4\sqrt{5}

9

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo punto medio manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Las coordenadas

x

suman

2\cdot 6=12

The

x

-coordinates sum to

2\cdot 6=12

Pista grande:

Las coordenadas

y

promedian

2,

así que

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,

lo que da

x_1x_2=16

The

y

-coordinates average to

2,

so

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,

giving

x_1x_2=16

Solución:

Sean

x_1

y

x_2

las coordenadas

x.

El punto medio da

x_1+x_2=12,

y el promedio de los valores

y

da

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,

así que

x_1x_2=2^4=16.

Entonces

\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the

x

-coordinates be

x_1

and

x_2.

The midpoint gives

x_1+x_2=12,

and the average of the

y

-values gives

\log_2 x_1+\log_2 x_2=4,

so

x_1x_2=2^4=16.

Then

\begin{gathered} |x_1-x_2|\\ {}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\\ {}=\sqrt{144-64}\\ {}=\sqrt{80}\\ {}=4\sqrt5. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.