2023 AMC 12A Problema 14

Question

¿Cuántos números complejos satisfacen la ecuación

z^5=\overline{z},

donde

\overline{z}

es el conjugado del número complejo

z

?

How many complex numbers satisfy the equation

z^5=\overline{z},

where

\overline{z}

is the conjugate of the complex number

z?

2

3

5

6

7

Respuesta: E

Conceptos:número complejo raíces de la unidad

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Toma valores absolutos:

|z|^5=|z|,

así que

|z|=0

o

|z|=1

Take absolute values:

|z|^5=|z|,

so

|z|=0

or

|z|=1

Pista grande:

Multiplicar por

z

da

z^6=z\overline{z}=|z|^2;

trata

z=0

por separado

Multiplying by

z

gives

z^6=z\overline{z}=|z|^2;

handle

z=0

separately

Solución:

Tomar módulos da

|z|^5=|z|,

así que

|z|=0

o

|z|=1.

El valor

z=0

funciona, dando una solución.

Si

|z|=1,

multiplica la ecuación por

z

para obtener

z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.

Esto tiene

6

raíces distintas, todas de módulo

1.

En total hay

1+6=7

soluciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Taking magnitudes gives

|z|^5=|z|,

so

|z|=0

or

|z|=1.

The value

z=0

works, giving one solution.

If

|z|=1,

multiply the equation by

z

to get

z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.

This has

6

distinct roots, all of modulus

1.

Altogether there are

1+6=7

solutions.

Thus, the correct answer is E.