2022 AMC 12A Problema 5

Question

Sea la distancia de taxi entre los puntos

(x_1,y_1)

y

(x_2,y_2)

en el plano coordenado dada por

|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.

¿Para cuántos puntos

P

de coordenadas enteras la distancia de taxi entre

P

y el origen es menor o igual que

20

?

Let the taxicab distance between points

(x_1,y_1)

and

(x_2,y_2)

in the coordinate plane be given by

|x_1-x_2|+|y_1-y_2|.

For how many points

P

with integer coordinates is the taxicab distance between

P

and the origin less than or equal to

20?

441

761

841

921

924

Respuesta: C

Conceptos:punto reticular sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Cuenta por separado los puntos de retícula en cada “rombo”

|x|+|y|=k

Count the lattice points on each “diamond”

|x|+|y|=k

separately

Pista grande:

Hay

4k

puntos con

|x|+|y|=k

para

k\ge1,

más el origen

There are

4k

points with

|x|+|y|=k

for

k\ge1,

plus the origin

Solución:

Para cada

k\ge1,

el conjunto

|x|+|y|=k

contiene exactamente

4k

puntos de retícula, y

k=0

da solo el origen.

El total es

\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For each

k\ge1,

the set

|x|+|y|=k

contains exactly

4k

lattice points, and

k=0

gives the single origin.

The total is

\begin{aligned} &1+\sum_{k=1}^{20}4k=1+4\cdot\frac{20\cdot21}{2} \\ &=1+840=841. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.