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2021 AMC 12B Spring Problema 14

Intenta el Problema 14 del 2021 AMC 12B Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 12B Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

14.

Sea ABCDABCD un rectángulo y sea DM‾\overline{DM} un segmento perpendicular al plano de ABCD.ABCD. Supongamos que DM‾\overline{DM} tiene longitud entera, y que las longitudes de MA‾,MC‾,\overline{MA}, \overline{MC}, y MB‾\overline{MB} son enteros positivos impares consecutivos (en ese orden). ¿Cuál es el volumen de la pirámide MABCDMABCD?

Let ABCDABCD be a rectangle and let DM‾\overline{DM} be a segment perpendicular to the plane of ABCD.ABCD. Suppose that DM‾\overline{DM} has integer length, and the lengths of MA‾,MC‾,\overline{MA}, \overline{MC}, and MB‾\overline{MB} are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid MABCD?MABCD?

24524\sqrt5

6060

28528\sqrt5

6666

8708\sqrt{70}

Respuesta: A
Conceptos:Geometría 3DTeorema de Pitágoraspirámide
Nivel de dificultad: 1790
Solución:

Coloquemos DD en el origen, con A,A, CC sobre los lados del rectángulo y MM directamente encima de D.D. Entonces MA2=AD2+DM2,MA^2=AD^2+DM^2, MC2=CD2+DM2,MC^2=CD^2+DM^2, y MB2=AD2+CD2+DM2.MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.

Por tanto, MB2=MA2+MC2−DM2.MB^2=MA^2+MC^2-DM^2. Escribiendo MA,MC,MB=k,k+2,k+4,MA,MC,MB=k,k+2,k+4, obtenemos DM2=k2+(k+2)2DM^2=k^2+(k+2)^2 −(k+4)2-(k+4)^2 =k2−4k−12.=k^2-4k-12.

Si DM=tDM=t es un entero positivo, entonces (k−2)2−t2=16,(k-2)^2-t^2=16, así que (k−2−t)(k−2+t)=16.(k-2-t)(k-2+t)=16. El único par positivo de factores de la misma paridad que da t>0t>0 es (2,8),(2,8), del cual se obtiene k=7k=7 y t=3.t=3. Por tanto, AD2=49−9=40AD^2=49-9=40 y CD2=81−9=72.CD^2=81-9=72.

El área de la base es AD⋅CD=40⋅72AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72} =2880=245,=\sqrt{2880}=24\sqrt5, y el volumen es 13⋅245⋅3=245.\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.

Así, la respuesta correcta es A.

Place DD at the origin with A,A, CC along the rectangle's edges and MM directly above D.D. Then MA2=AD2+DM2,MA^2=AD^2+DM^2, MC2=CD2+DM2,MC^2=CD^2+DM^2, and MB2=AD2+CD2+DM2.MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.

Thus MB2=MA2+MC2−DM2.MB^2=MA^2+MC^2-DM^2. Writing MA,MC,MB=k,k+2,k+4,MA,MC,MB=k,k+2,k+4, we get DM2=k2+(k+2)2DM^2=k^2+(k+2)^2 −(k+4)2-(k+4)^2 =k2−4k−12.=k^2-4k-12.

If DM=tDM=t is a positive integer, then (k−2)2−t2=16,(k-2)^2-t^2=16, so (k−2−t)(k−2+t)=16.(k-2-t)(k-2+t)=16. The only positive same-parity factor pair giving t>0t>0 is (2,8),(2,8), which yields k=7k=7 and t=3.t=3. Thus AD2=49−9=40AD^2=49-9=40 and CD2=81−9=72.CD^2=81-9=72.

The base area is AD⋅CD=40⋅72AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72} =2880=245,=\sqrt{2880}=24\sqrt5, and the volume is 13⋅245⋅3=245.\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.

Thus, the correct answer is A.

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