2021 AMC 12B Spring Problema 14

Question

Sea

ABCD

un rectángulo y sea

\overline{DM}

un segmento perpendicular al plano de

ABCD.

Supongamos que

\overline{DM}

tiene longitud entera, y que las longitudes de

\overline{MA},

\overline{MC},

y

\overline{MB}

son enteros positivos impares consecutivos (en ese orden). ¿Cuál es el volumen de la pirámide

MABCD

?

Let

ABCD

be a rectangle and let

\overline{DM}

be a segment perpendicular to the plane of

ABCD.

Suppose that

\overline{DM}

has integer length, and the lengths of

\overline{MA},

\overline{MC},

and

\overline{MB}

are consecutive odd positive integers (in this order). What is the volume of pyramid

MABCD?

24\sqrt5

60

28\sqrt5

66

8\sqrt{70}

Respuesta: A

Conceptos:Geometría 3D Teorema de Pitágoras pirámide

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Con

D

en el origen,

MA^2=AD^2+DM^2,

MC^2=CD^2+DM^2,

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2

With

D

at the origin,

MA^2=AD^2+DM^2,

MC^2=CD^2+DM^2,

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2

Pista grande:

Así

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;

con

MA,MC,MB=k,k+2,k+4,

despeja

k

y

DM

So

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2;

with

MA,MC,MB=k,k+2,k+4,

solve for

k

and

DM

Solución:

Coloquemos

D

en el origen, con

A,

C

sobre los lados del rectángulo y

M

directamente encima de

D.

Entonces

MA^2=AD^2+DM^2,

MC^2=CD^2+DM^2,

y

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.

Por tanto,

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.

Escribiendo

MA,MC,MB=k,k+2,k+4,

obtenemos

DM^2=k^2+(k+2)^2

-(k+4)^2

=k^2-4k-12.

Si

DM=t

es un entero positivo, entonces

(k-2)^2-t^2=16,

así que

(k-2-t)(k-2+t)=16.

El único par positivo de factores de la misma paridad que da

t>0

es

(2,8),

del cual se obtiene

k=7

y

t=3.

Por tanto,

AD^2=49-9=40

y

CD^2=81-9=72.

El área de la base es

AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}

=\sqrt{2880}=24\sqrt5,

y el volumen es

\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.

Así, la respuesta correcta es A.

Place

D

at the origin with

A,

C

along the rectangle’s edges and

M

directly above

D.

Then

MA^2=AD^2+DM^2,

MC^2=CD^2+DM^2,

and

MB^2=AD^2+CD^2+DM^2.

Thus

MB^2=MA^2+MC^2-DM^2.

Writing

MA,MC,MB=k,k+2,k+4,

we get

DM^2=k^2+(k+2)^2

-(k+4)^2

=k^2-4k-12.

If

DM=t

is a positive integer, then

(k-2)^2-t^2=16,

so

(k-2-t)(k-2+t)=16.

The only positive same-parity factor pair giving

t>0

is

(2,8),

which yields

k=7

and

t=3.

Thus

AD^2=49-9=40

and

CD^2=81-9=72.

The base area is

AD\cdot CD=\sqrt{40}\cdot\sqrt{72}

=\sqrt{2880}=24\sqrt5,

and the volume is

\tfrac13\cdot 24\sqrt5\cdot 3=24\sqrt5.

Thus, the correct answer is A.