2019 AMC 12B Problema 6

Question

En un plano dado, los puntos

A

y

B

están a

10

unidades de distancia. ¿Cuántos puntos

C

hay en el plano tales que el perímetro de

\triangle ABC

sea

50

unidades y el área de

\triangle ABC

sea

100

unidades cuadradas?

In a given plane, points

A

and

B

are

10

units apart. How many points

C

are there in the plane such that the perimeter of

\triangle ABC

is

50

units and the area of

\triangle ABC

is

100

square units?

0

2

4

8

infinitos

infinitely many

Respuesta: A

Conceptos:elipse acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Con

AB

fijo, la condición del perímetro pone a

C

en una elipse con focos

A

y

B

With

AB

fixed, the perimeter condition puts

C

on an ellipse with foci

A

and

B

Pista grande:

Un área

100

con base

10

requiere altura

20;

compárala con la mayor altura de la elipse

Area

100

with base

10

needs height

20;

compare that to the ellipse’s greatest height

Solución:

La condición del perímetro da

CA+CB=50-10=40,

así que

C

está en una elipse con focos

A,B

y eje mayor

2a=40.

Por lo tanto

a=20

y

c=5,

de modo que el semieje menor es

b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.

Para un área

100

con base

AB=10,

la altura desde

C

debe ser

\dfrac{2\cdot100}{10}=20.

Pero la mayor altura posible sobre la elipse es

b\approx19.36\lt20,

así que no existe tal

C

.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The perimeter condition gives

CA+CB=50-10=40,

so

C

lies on an ellipse with foci

A,B

and major axis

2a=40.

Thus

a=20

and

c=5,

so the semi-minor axis is

b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{375}\approx19.36.

For area

100

with base

AB=10,

the height from

C

must be

\dfrac{2\cdot100}{10}=20.

But the greatest possible height on the ellipse is

b\approx19.36\lt20,

so no such

C

exists.

Thus, A is the correct answer.