2019 AMC 12A Problema 14

Question

Para cierto número complejo

c,

el polinomio

\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}

tiene exactamente

4

raíces distintas. ¿Cuánto vale

|c|

?

For a certain complex number

c,

the polynomial

\begin{aligned} P(x) &= (x^2 - 2x + 2) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - cx + 4) \\ &\quad {}\cdot (x^2 - 4x + 8) \end{aligned}

has exactly

4

distinct roots. What is

|c|?

2

\sqrt{6}

2\sqrt{2}

3

\sqrt{10}

Respuesta: E

Conceptos:número complejo polinomio Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

El primer y el tercer factor dan las raíces

1 \pm i

y

2 \pm 2i

.

The first and third factors give roots

1 \pm i

and

2 \pm 2i

Pista grande:

Para tener solo

4

raíces distintas,

x^2 - cx + 4

debe reutilizar dos de estas; sus raíces se multiplican para dar

4

.

For only

4

distinct roots,

x^2 - cx + 4

must reuse two of these; its roots multiply to

4

Solución:

Los factores

x^2 - 2x + 2

y

x^2 - 4x + 8

tienen raíces

1 \pm i

y

2 \pm 2i,

que son

4

valores distintos.

Para que

P

tenga exactamente

4

raíces distintas, las raíces de

x^2 - cx + 4

deben estar entre estas. Su producto debe ser igual a

4,

y el único par así es una raíz de cada factor, por ejemplo

(1 + i)(2 - 2i) = 4.

Entonces

c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,

así que

|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The factors

x^2 - 2x + 2

and

x^2 - 4x + 8

have roots

1 \pm i

and

2 \pm 2i,

which are

4

distinct values.

For

P

to have exactly

4

distinct roots, the roots of

x^2 - cx + 4

must lie among these. Their product must equal

4,

and the only such pair is one root from each factor, for example

(1 + i)(2 - 2i) = 4.

Then

c = (1 + i) + (2 - 2i) = 3 - i,

so

|c| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}.

Thus, the correct answer is E.