2018 AMC 12A Problema 21

Question

¿Cuál de los siguientes polinomios tiene la mayor raíz real?

Which of the following polynomials has the greatest real root?

x^{19} + 2018x^{11} + 1

x^{17} + 2018x^{11} + 1

x^{19} + 2018x^{13} + 1

x^{17} + 2018x^{13} + 1

2019x + 2018

Respuesta: B

Conceptos:polinomio desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2210

Pista pequeña:

Por la Regla de los Signos de Descartes cada polinomio tiene exactamente una raíz real, y está en

(-1, 0)

By Descartes’ Rule of Signs each polynomial has exactly one real root, and it lies in

(-1, 0)

Pista grande:

En

(-1, 0)

un polinomio con valores mayores tiene una raíz menor; nota que allí

x^{19} \gt x^{17}

y

x^{13} \gt x^{11}

On

(-1, 0)

a polynomial with larger values has a smaller root; note

x^{19} \gt x^{17}

and

x^{13} \gt x^{11}

there

Solución:

Cada polinomio de las opciones A-D no tiene raíz positiva y tiene exactamente una raíz negativa, que está en

(-1, 0)

(es positivo en

0

y negativo en

-1

) y es creciente allí. En el intervalo

(-1, 0),

x^{19} \gt x^{17}

y

x^{13} \gt x^{11}.

Por lo tanto, cada una de las opciones A, C y D toma un valor mayor que B en todo punto de este intervalo, así que cada una cruza

0

a la izquierda de B. Por lo tanto, B tiene la mayor raíz entre las opciones A-D.

La opción lineal E tiene raíz

e=-\tfrac{2018}{2019}.

Como

\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},

tenemos

e^{17}+2018e^{11}+1

\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1

\lt0.

Como B es creciente y es negativo en

e,

su raíz está a la derecha de la de E. Por lo tanto B tiene la mayor raíz real.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in

(-1, 0)

(it is positive at

0

and negative at

-1

) and is increasing there. On the interval

(-1, 0),

x^{19} \gt x^{17}

and

x^{13} \gt x^{11}.

Thus each of A, C, and D has a larger value than B at every point of this interval, so each crosses

0

to the left of B. Therefore B has the greatest root among A–D.

The linear choice E has root

e=-\tfrac{2018}{2019}.

Since

\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},

we have

e^{17}+2018e^{11}+1

\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1

\lt0.

Because B is increasing and is negative at

e,

its root lies to the right of E’s. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.