Question

¿Cuál de los siguientes polinomios tiene la mayor raíz real?

Which of the following polynomials has the greatest real root?

$x^{19} + 2018x^{11} + 1$

$x^{17} + 2018x^{11} + 1$

$x^{19} + 2018x^{13} + 1$

$x^{17} + 2018x^{13} + 1$

$2019x + 2018$

Respuesta: B

Conceptos:polinomio desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2210

Solución:

Cada polinomio de las opciones A-D no tiene raíz positiva y tiene exactamente una raíz negativa, que está en $(-1, 0)$ (es positivo en $0$ y negativo en $-1$ ) y es creciente allí. En el intervalo $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ y $x^{13} \gt x^{11}.$ Aumentar un término hace el polinomio mayor, lo que empuja su raíz hacia la izquierda (menor). Así que los exponentes más pequeños dan la mayor raíz, favoreciendo la opción B ( $0$ ) sobre A, C y D.

La opción lineal E tiene raíz $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ muy cerca de $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ evaluar el polinomio de la opción B ahí da un valor negativo, así que la raíz de B está a la derecha de la de E. Por lo tanto B tiene la mayor raíz real. $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ $e,$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each polynomial in choices A–D has no positive root and exactly one negative root, which lies in $(-1, 0)$ (it is positive at $0$ and negative at $-1$ ) and is increasing there. On the interval $(-1, 0),$ $x^{19} \gt x^{17}$ and $x^{13} \gt x^{11}.$ Thus each of A, C, and D has a larger value than B at every point of this interval, so each crosses $0$ to the left of B. Therefore B has the greatest root among A–D.

The linear choice E has root $e=-\tfrac{2018}{2019}.$ Since $\tfrac{2018}{2019}\gt\tfrac9{10},$ we have $e^{17}+2018e^{11}+1$ $\lt-2018\left(\tfrac9{10}\right)^{11}+1$ $\lt0.$ Because B is increasing and is negative at $e,$ its root lies to the right of E's. Hence B has the greatest real root.

Thus, the correct answer is B.

2018 AMC 12A Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2210

Solución:

El Problema 21 en otros años