2017 AMC 12A Problema 14

Question

Alice se niega a sentarse junto a Bob o a Carla. Derek se niega a sentarse junto a Eric. ¿De cuántas maneras pueden los cinco sentarse en una fila de

5

sillas bajo estas condiciones?

Alice refuses to sit next to either Bob or Carla. Derek refuses to sit next to Eric. How many ways are there for the five of them to sit in a row of

5

chairs under these conditions?

12

16

28

32

40

Comienza con todas las

5!=120

formas de sentarse y resta las adyacencias prohibidas

Start from all

5!=120

seatings and subtract the forbidden adjacencies

Trata cada par prohibido como un bloque (con

2

órdenes internos) y aplica inclusión-exclusión

Treat each forbidden pair as a block (with

2

internal orders) and apply inclusion-exclusion

Sean

X,

Y,

Z

las formas de sentarse donde Alice-Bob, Alice-Carla y Derek-Eric están adyacentes, respectivamente. La respuesta es

5!-|X\cup Y\cup Z|.

Tratar un par prohibido como un bloque da

|X|=|Y|=|Z|=2\cdot4!=48.

Para las intersecciones,

|X\cap Y|=2\cdot3!=12

(Alice entre Bob y Carla),

|X\cap Z|=|Y\cap Z|

=2\cdot2\cdot3!=24,

y

|X\cap Y\cap Z|=2\cdot2\cdot2!=8.

Por inclusión-exclusión,

|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3)

-(12+24+24)

+8=92,

así que la respuesta es

120-92=28.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

X,

Y,

Z

be the seatings where Alice-Bob, Alice-Carla, and Derek-Eric are adjacent, respectively. The answer is

5!-|X\cup Y\cup Z|.

Treating a forbidden pair as a block gives

|X|=|Y|=|Z|=2\cdot4!=48.

For intersections,

|X\cap Y|=2\cdot3!=12

(Alice between Bob and Carla),

|X\cap Z|=|Y\cap Z|

=2\cdot2\cdot3!=24,

and

|X\cap Y\cap Z|=2\cdot2\cdot2!=8.

By inclusion-exclusion,

|X\cup Y\cup Z|=(48\cdot3)

-(12+24+24)

+8=92,

so the answer is

120-92=28.

Thus, the correct answer is C.

El Problema 14 en otros años