2016 AMC 12B Problema 6

Question

Los tres vértices del

\triangle ABC

están sobre la parábola definida por

y=x^2,

con

A

en el origen y

\overline{BC}

paralelo al eje

x

. El área del triángulo es

64.

¿Cuál es la longitud de

BC

?

All three vertices of

\triangle ABC

lie on the parabola defined by

y=x^2,

with

A

at the origin and

\overline{BC}

parallel to the

x

-axis. The area of the triangle is

64.

What is the length of

BC?

4

6

8

10

16

Respuesta: C

Conceptos:parábola área del triángulo geometría analítica

Nivel de dificultad: 1350

Pista pequeña:

Sea un vértice superior

(x,x^2);

por simetría, el otro es

(-x,x^2)

.

Let a top vertex be

(x,x^2);

by symmetry the other is

(-x,x^2)

Pista grande:

La base es

BC=2x

y la altura es

x^2,

así que

\tfrac12(2x)(x^2)=64

.

The base is

BC=2x

and the height is

x^2,

so

\tfrac12(2x)(x^2)=64

Solución:

Sea el vértice del primer cuadrante

(x,x^2).

Por simetría, la base es

BC=2x

y la altura es

x^2,

así que

\tfrac12\cdot2x\cdot x^2=x^3=64.

Por lo tanto,

x=4

y

BC=2x=8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the vertex in the first quadrant be

(x,x^2).

By symmetry the base is

BC=2x