2016 AMC 12B Problema 14

Question

La suma de una serie geométrica infinita es un número positivo

S,

y el segundo término de la serie es

1.

¿Cuál es el menor valor posible de

S

?

The sum of an infinite geometric series is a positive number

S,

and the second term in the series is

1.

What is the smallest possible value of

S?

\dfrac{1+\sqrt5}{2}

2

\sqrt5

3

4

Respuesta: E

Conceptos:sucesión geométrica cuadrática optimización

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Con razón

r

y segundo término

1,

el primer término es

\frac{1}{r},

así que

S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}

.

With ratio

r

and second term

1,

the first term is

\frac{1}{r},

so

S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}

Pista grande:

S

es mínimo cuando

r-r^2

es máximo; maximiza la parábola

r-r^2

que abre hacia abajo.

S

is smallest when

r-r^2

is largest; maximize the downward parabola

r-r^2

Solución:

Sea

r

la razón común. Como el segundo término es

1,

el primero es

\dfrac1r,

así que

S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.

La convergencia exige

|r|\lt1,

y

S\gt0

obliga entonces a

0\lt r\lt1.

Por tanto,

S

es mínimo cuando

r-r^2

es máximo. La parábola

r-r^2

alcanza su máximo en

r=\tfrac12,

donde vale

\tfrac14,

así que el menor valor de

S

es

\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

r

be the common ratio. Since the second term is

1,

the first term is

\dfrac1r,

so

S=\dfrac{\frac{1}{r}}{1-r}=\dfrac{1}{r-r^2}.

Convergence requires

|r|\lt1,

and

S\gt0

then forces

0\lt r\lt1.

Therefore

S

is smallest when

r-r^2

is largest. The parabola

r-r^2

peaks at

r=\tfrac12,

where it equals

\tfrac14,

so the smallest value of

S

is

\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4.

Thus, the correct answer is E.