2014 AMC 12A Problema 14

Question

Sean

a\lt b\lt c

tres enteros tales que

a,

b,

c

es una progresión aritmética y

a,

c,

b

es una progresión geométrica. ¿Cuál es el menor valor posible de

c

?

Let

a\lt b\lt c

be three integers such that

a,

b,

c

is an arithmetic progression and

a,

c,

b

is a geometric progression. What is the smallest possible value for

c?

-2

1

2

4

6

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Sea

d

la diferencia común:

b=a+d

y

c=a+2d

.

Let the common difference be

d

:

b=a+d

and

c=a+2d

Pista grande:

Como

a,c,b

es geométrica,

c^2=ab

; esto se simplifica a

3a+4d=0

.

Since

a,c,b

is geometric,

c^2=ab

; this simplifies to

3a+4d=0

Solución:

Sea

d=b-a\gt0

, así que

b=a+d

y

c=a+2d

. Como

a,c,b

es geométrica,

\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}

lo que se simplifica a

3ad+4d^2=0

, así que

3a+4d=0

.

Entonces

a=-4k

y

d=3k

para un entero positivo

k

, lo que da

c=a+2d=2k

. El menor valor es

c=2

(con

a=-4

,

b=-1

,

c=2

).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

d=b-a\gt0,

so

b=a+d

and

c=a+2d.

Since

a,c,b

is geometric,

\begin{gathered} \dfrac{c}{a}=\dfrac{b}{c}\\ \implies(a+2d)^2=a(a+d), \end{gathered}

which simplifies to

3ad+4d^2=0,

so

3a+4d=0.

Then

a=-4k

and

d=3k

for a positive integer

k,

giving

c=a+2d=2k.

The smallest value is

c=2

(with

a=-4,

b=-1,

c=2

).

Thus, the correct answer is C.