2014 AMC 12A Problema 10

Question

Se construyen tres triángulos isósceles congruentes con sus bases sobre los lados de un triángulo equilátero de lado

1.

La suma de las áreas de los tres triángulos isósceles es igual al área del triángulo equilátero. ¿Cuál es la longitud de uno de los dos lados congruentes de uno de los triángulos isósceles?

Three congruent isosceles triangles are constructed with their bases on the sides of an equilateral triangle of side length

1.

The sum of the areas of the three isosceles triangles is the same as the area of the equilateral triangle. What is the length of one of the two congruent sides of one of the isosceles triangles?

\dfrac{\sqrt3}{4}

\dfrac{\sqrt3}{3}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{\sqrt2}{2}

\dfrac{\sqrt3}{2}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo equilátero área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

Cada triángulo isósceles tiene base

1

; sea

h

su altura.

Each isosceles triangle has base

1

; let its height be

h

Pista grande:

Tres triángulos de área

\tfrac12 h

suman

\tfrac{\sqrt3}{4}

; despeja

h

, luego usa el teorema de Pitágoras.

Three triangles of area

\tfrac12 h

sum to

\tfrac{\sqrt3}{4}

; solve for

h

, then use the Pythagorean theorem

Solución:

El triángulo equilátero tiene área

\dfrac{\sqrt3}{4}.

Cada triángulo isósceles tiene base

1

y altura

h,

así que

3\cdot\dfrac12 h=\dfrac{\sqrt3}{4},

lo que da

h=\dfrac{\sqrt3}{6}.

Un lado congruente es la hipotenusa desde el vértice superior hasta un extremo de la base, cuya longitud es

\begin{gathered} \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\\ =\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The equilateral triangle has area

\dfrac{\sqrt3}{4}.

Each isosceles triangle has base

1

and height

h,

so

3\cdot\dfrac12 h=\dfrac{\sqrt3}{4},

giving

h=\dfrac{\sqrt3}{6}.

A congruent side is the hypotenuse from the apex to a base endpoint:

\begin{gathered} \sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2}\\ =\sqrt{\dfrac14+\dfrac{1}{12}}\\ =\sqrt{\dfrac13}=\dfrac{\sqrt3}{3}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is B.