2013 AMC 12B Problema 6

Question

Los números reales

x

e

y

satisfacen la ecuación

x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.

¿Cuánto vale

x+y

?

Real numbers

x

and

y

satisfy the equation

x^2 + y^2 = 10x - 6y - 34.

What is

x+y?

1

2

3

6

8

Mueve todos los términos a un lado y completa el cuadrado tanto en

x

como en

y

.

Move every term to one side and complete the square in both

x

and

y

Una suma de dos cuadrados igual a

0

obliga a que cada cuadrado sea

0

.

A sum of two squares equal to

0

forces each square to be

0

Reordenando se obtiene

x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9

= 0,

es decir

(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.

Por lo tanto

x = 5

y

y = -3,

así que

x + y = 2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rearranging gives

x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9

= 0,

that is

(x-5)^2 + (y+3)^2 = 0.

Hence

x = 5

and

y = -3,

so

x + y = 2.

Thus, the correct answer is B.

El Problema 6 en otros años