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2013 AMC 12B Problema 15

Intenta el Problema 15 del 2013 AMC 12B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2013 AMC 12B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

15.

El número 20132013 se expresa en la forma
2013=a1! a2!⋯am!b1! b2!⋯bn!, 2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},
donde a1≥a2≥⋯≥ama_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m y b1≥b2≥⋯≥bnb_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n son enteros positivos y a1+b1a_1 + b_1 es lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale ∣a1−b1∣ |a_1 - b_1|\,?
The number 20132013 is expressed in the form
2013=a1! a2!⋯am!b1! b2!⋯bn!, 2013 = \frac{a_1!\,a_2!\cdots a_m!}{b_1!\,b_2!\cdots b_n!},
where a1≥a2≥⋯≥ama_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m and b1≥b2≥⋯≥bnb_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n are positive integers and a1+b1a_1 + b_1 is as small as possible. What is ∣a1−b1∣ ?|a_1 - b_1|\,?
11
22
33
44
55
Respuesta: B
Conceptos:factorización en primosfactorialacotación a casos límite
Nivel de dificultad: 1840
Pista pequeña:
Factoriza 2013=3⋅11⋅61;2013 = 3\cdot 11\cdot 61; su mayor primo es 6161.
Factor 2013=3⋅11⋅61;2013 = 3\cdot 11\cdot 61; its largest prime is 6161
Pista grande:
Algún ai!a_i! debe alcanzar 61,61, así que a1≥61;a_1 \ge 61; pero 61!61! también contiene el primo 59,59, que debe cancelarse del denominador.
Some ai!a_i! must reach 61,61, so a1≥61;a_1 \ge 61; but 61!61! also contains the prime 59,59, which must be cancelled from the denominator
Solución:
Como 2013=3⋅11⋅61,2013 = 3\cdot 11\cdot 61, el numerador necesita un factorial de al menos 61!61! para aportar el primo 61,61, así que a1≥61.a_1 \ge 61. Pero 61!61! también tiene un factor 59,59, que 20132013 no tiene, así que el denominador necesita b1≥59.b_1 \ge 59. Por lo tanto a1+b1≥120,a_1 + b_1 \ge 120, alcanzado con a1=61,a_1 = 61, b1=59b_1 = 59 mediante 2013=61! 11! 3!59! 10! 5!.2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}. Entonces ∣a1−b1∣=2.|a_1 - b_1| = 2. Por lo tanto, la respuesta correcta es B.
Since 2013=3⋅11⋅61,2013 = 3\cdot 11\cdot 61, the numerator needs a factorial at least 61!61! to supply the prime 61,61, so a1≥61.a_1 \ge 61. But 61!61! also has a factor of 59,59, which 20132013 does not, so the denominator needs b1≥59.b_1 \ge 59. Thus a1+b1≥120,a_1 + b_1 \ge 120, attained by a1=61,a_1 = 61, b1=59b_1 = 59 via 2013=61! 11! 3!59! 10! 5!.2013 = \dfrac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}. Then ∣a1−b1∣=2.|a_1 - b_1| = 2. Thus, the correct answer is B.

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