2012 AMC 12A Problema 18

Question

El triángulo

ABC

tiene

AB = 27,

AC = 26,

y

BC = 25.

Sea

I

la intersección de las bisectrices internas de

\triangle ABC.

¿Cuánto vale

BI

?

Triangle

ABC

has

AB = 27,

AC = 26,

and

BC = 25.

Let

I

denote the intersection of the internal angle bisectors of

\triangle ABC.

What is

BI?

15

5 + \sqrt{26} + 3\sqrt{3}

3\sqrt{26}

\dfrac{2}{3}\sqrt{546}

9\sqrt{3}

Respuesta: A

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio Fórmula de Herón Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Traza perpendiculares desde

I

a los lados; el segmento tangente desde

B

tiene longitud

s - b

Drop perpendiculars from

I

to the sides; the tangent segment from

B

has length

s - b

Pista grande:

Halla el inradio a partir de área

= rs

y la fórmula de Herón, luego usa el triángulo rectángulo con catetos

r

y

BD

Find the inradius from area

= rs

and Heron’s formula, then use the right triangle with legs

r

and

BD

Solución:

Sea

D

el pie de la perpendicular desde el incentro

I

hasta

BC.

La longitud tangente

BD = s - AC,

donde

s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,

así que

BD = 39 - 26 = 13.

Por la fórmula de Herón, el área es

\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},

y el inradio satisface

r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}

= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}

= 56.

En el triángulo rectángulo

BDI,

BI^2 = r^2 + BD^2

= 56 + 169

= 225,

así que

BI = 15.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

D

be the foot of the perpendicular from the incenter

I

to

BC.

The tangent length

BD = s - AC,

where

s = \tfrac12(25 + 26 + 27) = 39,

so

BD = 39 - 26 = 13.

By Heron’s formula the area is

\sqrt{39 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12},

and the inradius satisfies

r^2 = \dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}

= \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12}{39}

= 56.

In right triangle

BDI,

BI^2 = r^2 + BD^2

= 56 + 169

= 225,

so

BI = 15.

Thus, the correct answer is A.