2011 AMC 12B Problema 6

Question

Desde un punto

A

se trazan dos tangentes a un círculo. Los puntos de contacto

B

y

C

dividen el círculo en dos arcos cuyas longitudes están en la razón

2:3.

¿Cuánto mide en grados el ángulo

\angle BAC

?

Two tangents to a circle are drawn from a point

A.

The points of contact

B

and

C

divide the circle into arcs with lengths in the ratio

2:3.

What is the degree measure of

\angle BAC?

24

30

36

48

60

Respuesta: C

Conceptos:recta tangente arco persecución de ángulos

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Los dos arcos dividen

360^\circ

en la razón

2:3

.

The two arcs split

360^\circ

in the ratio

2:3

Pista grande:

Una tangente forma

90^\circ

con el radio en su punto de contacto; usa el cuadrilátero

ABOC

.

A tangent meets the radius at its point of contact at

90^\circ

; use quadrilateral

ABOC

Solución:

Sea

O

el centro. Los arcos miden

2x

y

3x

con

2x+3x=360^\circ,

así que

x=72^\circ

y el arco menor

BC

da el ángulo central

\angle BOC=144^\circ.

Los radios a

B

y

C

son perpendiculares a las tangentes, así que

\angle ABO=\angle ACO=90^\circ.

En el cuadrilátero

ABOC,

\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

O

be the center. The arcs measure

2x

and

3x

with

2x+3x=360^\circ,

so

x=72^\circ

and the minor arc

BC

gives central angle

\angle BOC=144^\circ.

The radii to

B

and

C

are perpendicular to the tangents, so

\angle ABO=\angle ACO=90^\circ.

In quadrilateral

ABOC,

\begin{gathered} \angle BAC=360^\circ-144^\circ-90^\circ \\ {}-90^\circ=36^\circ. \end{gathered}

Thus, the correct answer is C.