2011 AMC 12B Problema 14

Question

Un segmento que pasa por el foco

F

de una parábola con vértice

V

es perpendicular a

\overline{FV}

e interseca la parábola en los puntos

A

y

B.

¿Cuánto vale

\cos(\angle AVB)

?

A segment through the focus

F

of a parabola with vertex

V

is perpendicular to

\overline{FV}

and intersects the parabola in points

A

and

B.

What is

\cos(\angle AVB)?

-\dfrac{3\sqrt{5}}{7}

-\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

-\dfrac{4}{5}

-\dfrac{3}{5}

-\dfrac{1}{2}

Respuesta: D

Conceptos:parábola identidad trigonométrica Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1710

Pista pequeña:

Sea

p=FV.

Usa la propiedad foco-directriz para hallar

FB

y luego

VB

.

Let

p=FV.

Use the focus-directrix property to find

FB

and then

VB

Pista grande:

Halla

\cos(\angle FVB),

y luego

\angle AVB=2\angle FVB

mediante la fórmula del ángulo doble.

Find

\cos(\angle FVB),

then

\angle AVB=2\angle FVB

via the double angle formula

Solución:

Sea

p=FV

y sea la directriz

\ell.

Proyectando

F

y

B

sobre

\ell,

la propiedad foco-directriz da

FB=2p

(la distancia de

B

a

\ell

), y por el Teorema de Pitágoras

\begin{aligned} VB&=\sqrt{FV^2+FB^2} \\ &=\sqrt{p^2+4p^2}=\sqrt5\,p. \end{aligned}

Entonces

\cos(\angle FVB)=\dfrac{FV}{VB}

=\dfrac{p}{\sqrt5\,p}

=\dfrac{1}{\sqrt5}.

Como

\angle AVB=2\angle FVB,

\begin{aligned} \cos(\angle AVB) &=2\cos^2(\angle FVB) \\ &\quad {}-1 \\ &=2\cdot\dfrac15-1 \\ &=-\dfrac35. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

p=FV

and let the directrix be

\ell.

Projecting

F

and

B

onto

\ell,

the focus-directrix property gives

FB=2p

(the distance from

B

to

\ell

), and by the Pythagorean Theorem

\begin{aligned} VB&=\sqrt{FV^2+FB^2} \\ &=\sqrt{p^2+4p^2}=\sqrt5\,p. \end{aligned}

Then

\cos(\angle FVB)=\dfrac{FV}{VB}

=\dfrac{p}{\sqrt5\,p}

=\dfrac{1}{\sqrt5}.

Since

\angle AVB=2\angle FVB,

\begin{aligned} \cos(\angle AVB) &=2\cos^2(\angle FVB) \\ &\quad {}-1 \\ &=2\cdot\dfrac15-1 \\ &=-\dfrac35. \end{aligned}

Thus, the correct answer is D.