2011 AMC 12A Problema 10

Question

Se lanza una vez un par de dados justos estándar de

6

caras. La suma de los números obtenidos determina el diámetro de un círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor numérico del área del círculo sea menor que el valor numérico de la circunferencia del círculo?

A pair of standard

6

-sided fair dice is rolled once. The sum of the numbers rolled determines the diameter of a circle. What is the probability that the numerical value of the area of the circle is less than the numerical value of the circle’s circumference?

\dfrac{1}{36}

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{5}{18}

Respuesta: B

Conceptos:dados (probabilidad)círculo desigualdad

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Con diámetro

d,

el área es

\dfrac{\pi d^2}{4}

y la circunferencia es

\pi d

With diameter

d,

the area is

\dfrac{\pi d^2}{4}

and the circumference is

\pi d

Pista grande:

La desigualdad

\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d

se reduce a

d \lt 4

The inequality

\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d

reduces to

d \lt 4

Solución:

Para diámetro

d,

que el área

\lt

circunferencia significa

\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d,

es decir

d \lt 4.

Como

d \ge 2,

esto requiere una suma de

2

o

3.

Una suma de

2

tiene probabilidad

\dfrac{1}{36}

y una suma de

3

tiene probabilidad

\dfrac{2}{36},

lo que suma

\dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

For diameter

d,

area

\lt

circumference means

\dfrac{\pi d^2}{4} \lt \pi d,

i.e.

d \lt 4.

Since

d \ge 2,

this needs a sum of

2

or

3.

A sum of

2

has probability

\dfrac{1}{36}

and a sum of

3