2010 AMC 12B Problema 14

Question

Sean

a,

b,

c,

d,

y

e

enteros positivos con

a+b+c+d+e=2010,

y sea

M

el mayor de las sumas

a+b,

b+c,

c+d,

y

d+e.

¿Cuál es el menor valor posible de

M

?

Let

a,

b,

c,

d,

and

e

be positive integers with

a+b+c+d+e=2010,

and let

M

be the largest of the sums

a+b,

b+c,

c+d,

and

d+e.

What is the smallest possible value of

M?

670

671

802

803

804

Respuesta: B

Conceptos:optimización desigualdad argumento extremal

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

(a+b)+c+(d+e)=2010,

y cada uno de

a+b,

c,

y

d+e

es a lo sumo

M

(a+b)+c+(d+e)=2010,

and each of

a+b,

c,

and

d+e

is at most

M

Pista grande:

Esto fuerza

3M\ge2010;

descarta

M=670,

luego construye un ejemplo que alcance la cota

This forces

3M\ge2010;

rule out

M=670,

then build an example reaching the bound

Solución:

Cada uno de

a+b,

d+e,

y

c

es a lo sumo

M

(nota que

c\le c+d\le M

). Sumando,

2010=(a+b)+c+(d+e)

\le3M,

así que

M\ge670.

Si

M=670,

entonces

c=670,

pero entonces

b+c\ge671\gt M,

una contradicción. Por lo tanto

M\ge671.

El valor

671

se alcanza con

(a,b,c,d,e)=

(669,1,670,1,669),

cuyas sumas de pares consecutivos son

670,671,671,670.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each of

a+b,

d+e,

and

c

is at most

M

(note

c\le c+d\le M

). Adding,

2010=(a+b)+c+(d+e)

\le3M,

so

M\ge670.

If

M=670,

then

c=670,

but then

b+c\ge671\gt M,

a contradiction. Hence

M\ge671.

The value

671

is reached by

(a,b,c,d,e)=

(669,1,670,1,669),

whose consecutive-pair sums are

670,671,671,670.

Thus, the correct answer is B.