2009 AMC 12A Problema 14

Question

Un triángulo tiene vértices

(0, 0),

(1, 1),

y

(6m, 0),

y la recta

y = mx

divide el triángulo en dos triángulos de áreas iguales. ¿Cuál es la suma de todos los posibles valores de

m

?

A triangle has vertices

(0, 0),

(1, 1),

and

(6m, 0),

and the line

y = mx

divides the triangle into two triangles of equal area. What is the sum of all possible values of

m?

-\dfrac{1}{3}

-\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica mediana (geometría)Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1820

Pista pequeña:

La recta pasa por el vértice

(0, 0),

así que para bisecar el área debe pasar por el punto medio del lado opuesto.

The line passes through the vertex

(0, 0),

so to bisect the area it must hit the midpoint of the opposite side

Pista grande:

Impón que el punto medio del segmento de

(1, 1)

a

(6m, 0)

esté sobre la recta

y = mx

.

Set the midpoint of the segment from

(1, 1)

to

(6m, 0)

on the line

y = mx

Solución:

La recta

y = mx

pasa por el vértice

(0, 0),

así que biseca el área del triángulo exactamente cuando pasa por el punto medio del lado opuesto, que une

(1, 1)

y

(6m, 0).

Ese punto medio es

\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).

Exigir que satisfaga

y = mx

da

\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},

así que

6m^2 + m - 1 = 0,

es decir

(3m - 1)(2m + 1) = 0.

Los posibles valores son

m = \dfrac{1}{3}

y

m = -\dfrac{1}{2},

cuya suma es

-\dfrac{1}{6}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The line

y = mx

passes through the vertex

(0, 0),

so it bisects the triangle’s area exactly when it passes through the midpoint of the opposite side, joining

(1, 1)

and

(6m, 0).

That midpoint is

\left(\dfrac{6m + 1}{2}, \dfrac{1}{2}\right).

Requiring it to satisfy

y = mx

gives

\frac{1}{2} = m\cdot\frac{6m + 1}{2},

so

6m^2 + m - 1 = 0,

that is

(3m - 1)(2m + 1) = 0.

The possible values are

m = \dfrac{1}{3}

and

m = -\dfrac{1}{2},

whose sum is

-\dfrac{1}{6}.

Thus, the correct answer is B.