Question

Una clase reúne $\$50$ para comprar flores a un compañero que está en el hospital. Las rosas cuestan $\$3$ cada una y los claveles cuestan $\$2$ cada uno. No se usarán otras flores. ¿Cuántos ramos diferentes se podrían comprar por exactamente $\$50$ ?

A class collects $\$50$ to buy flowers for a classmate who is in the hospital. Roses cost $\$3$ each, and carnations cost $\$2$ each. No other flowers are to be used. How many different bouquets could be purchased for exactly $\$50?$

$1$

$7$

$9$

$16$

$17$

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Sea $r$ el número de rosas y $c$ el número de claveles, de modo que $3r + 2c = 50$ con $r, c \ge 0.$

Como $2c$ y $50$ son pares, $3r$ debe ser par, lo que obliga a que $r$ sea par. El mayor $r$ posible es $16$ (ya que $3 \cdot 17 \gt 50$ ), así que $r \in \{0, 2, 4, \ldots, 16\}.$

Eso da $9$ valores de $r,$ cada uno determinando un ramo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $r$ be the number of roses and $c$ the number of carnations, so $3r + 2c = 50$ with $r, c \ge 0.$

Because $2c$ and $50$ are even, $3r$ must be even, forcing $r$ to be even. The largest possible $r$ is $16$ (since $3 \cdot 17 \gt 50$ ), so $r \in \{0, 2, 4, \ldots, 16\}.$

That gives $9$ values of $r,$ each determining a bouquet.

Thus, the correct answer is C.

2008 AMC 12B Problema 5

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

El Problema 5 en otros años