2008 AMC 12B Problema 5

Question

Una clase reúne

\$50

para comprar flores a un compañero que está en el hospital. Las rosas cuestan

\$3

cada una y los claveles cuestan

\$2

cada uno. No se usarán otras flores. ¿Cuántos ramos diferentes se podrían comprar por exactamente

\$50

?

A class collects

\$50

to buy flowers for a classmate who is in the hospital. Roses cost

\$3

each, and carnations cost

\$2

each. No other flowers are to be used. How many different bouquets could be purchased for exactly

\$50?

1

7

9

16

17

Respuesta: C

Conceptos:Ecuación diofántica paridad

Nivel de dificultad: 1270

Pista pequeña:

Si hay

r

rosas y

c

claveles, entonces

3r + 2c = 50

.

If there are

r

roses and

c

carnations, then

3r + 2c = 50

Pista grande:

Como

2c

y

50

son pares,

3r

es par, así que

r

debe ser par; halla cuántos

r

pares funcionan.

Since

2c

and

50

are even,

3r

is even, so

r

must be even; find how many even

r

work

Solución:

Sea

r

el número de rosas y

c

el número de claveles, de modo que

3r + 2c = 50

con

r, c \ge 0.

Como

2c

y

50

son pares,

3r

debe ser par, lo que obliga a que

r

sea par. El mayor

r

posible es

16

(ya que

3 \cdot 17 \gt 50

), así que

r \in \{0, 2, 4, \ldots, 16\}.

Eso da

9

valores de

r,

cada uno determinando un ramo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

r

be the number of roses and

c

the number of carnations, so

3r + 2c = 50

with

r, c \ge 0.

Because

2c

and

50

are even,

3r

must be even, forcing

r

to be even. The largest possible

r

is

16

(since

3 \cdot 17 \gt 50

), so

r \in \{0, 2, 4, \ldots, 16\}.

That gives

9

values of

r,

each determining a bouquet.

Thus, the correct answer is C.