2008 AMC 12B Problema 21

Question

Se van a construir dos círculos de radio

1

de la siguiente manera. El centro del círculo

A

se elige de manera uniforme y al azar del segmento que une

(0, 0)

con

(2, 0).

El centro del círculo

B

se elige de manera uniforme y al azar, e independientemente de la primera elección, del segmento que une

(0, 1)

con

(2, 1).

¿Cuál es la probabilidad de que los círculos

A

y

B

se intersequen?

Two circles of radius

1

are to be constructed as follows. The center of circle

A

is chosen uniformly and at random from the line segment joining

(0, 0)

to

(2, 0).

The center of circle

B

is chosen uniformly and at random, and independently of the first choice, from the line segment joining

(0, 1)

to

(2, 1).

What is the probability that circles

A

and

B

intersect?

\dfrac{2 + \sqrt{2}}{4}

\dfrac{3\sqrt{3} + 2}{8}

\dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2}

\dfrac{2 + \sqrt{3}}{4}

\dfrac{4\sqrt{3} - 3}{4}

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad geométrica fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Con centros

(a, 0)

y

(b, 1),

los círculos se intersecan si y solo si

\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2,

es decir

|a - b| \le \sqrt{3}

.

With centers

(a, 0)

and

(b, 1),

the circles intersect iff

\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2,

i.e.

|a - b| \le \sqrt{3}

Pista grande:

En el cuadrado

[0, 2]^2

de área

4,

halla el área con

|a - b| \le \sqrt{3}

quitando los dos triángulos de las esquinas donde

|a - b| \gt \sqrt{3}

.

In the square

[0, 2]^2

of area

4,

find the area with

|a - b| \le \sqrt{3}

by removing the two corner triangles where

|a - b| \gt \sqrt{3}

Solución:

Sean los centros

(a, 0)

y

(b, 1)

con

a, b \in [0, 2].

Los círculos (de radio

1

cada uno) se intersecan si y solo si la distancia entre centros es a lo sumo

2:

\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}

Los pares

(a, b)

llenan el cuadrado

[0, 2]^2

de área

4.

La región de fallo

|a - b| \gt \sqrt3

son dos triángulos rectángulos, cada uno con catetos

2 - \sqrt3,

de área total

(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.

Así que el área favorable es

4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,

y la probabilidad es

\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the centers be

(a, 0)

and

(b, 1)

with

a, b \in [0, 2].

The circles (radius

1

each) intersect iff the distance between centers is at most

2:

\begin{aligned} &\sqrt{(a - b)^2 + 1} \le 2 \\ &\iff |a - b| \le \sqrt{3}. \end{aligned}

The pairs

(a, b)

fill the square

[0, 2]^2

of area

4.

The failing region

|a - b| \gt \sqrt3

is two right triangles, each with legs

2 - \sqrt3,

of total area

(2 - \sqrt3)^2 = 7 - 4\sqrt3.

So the favorable area is

4 - (7 - 4\sqrt3) = 4\sqrt3 - 3,

and the probability is

\frac{4\sqrt3 - 3}{4}.

Thus, the correct answer is E.