2008 AMC 12B Problema 20

Question

Michael camina a una velocidad de

5

pies por segundo en un camino recto y largo. Hay botes de basura cada

200

pies a lo largo del camino. Un camión de basura viaja a

10

pies por segundo en la misma dirección que Michael y se detiene

30

segundos en cada bote. Cuando Michael pasa un bote, nota que el camión adelante acaba de salir del siguiente bote. ¿Cuántas veces se encontrarán Michael y el camión?

Michael walks at the rate of

5

feet per second on a long straight path. Trash pails are located every

200

feet along the path. A garbage truck travels at

10

feet per second in the same direction as Michael and stops for

30

seconds at each pail. As Michael passes a pail, he notices the truck ahead of him just leaving the next pail. How many times will Michael and the truck meet?

4

5

6

7

8

Respuesta: B

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Numera los botes de modo que Michael comience en el bote

0

y el camión en el bote

1;

Michael llega al bote

n

en el tiempo

40n

segundos.

Number the pails so Michael starts at pail

0

and the truck at pail

1;

Michael reaches pail

n

at time

40n

seconds

Pista grande:

El camión sale del bote

n

en

50(n - 1)

y llega en

50(n - 1) - 30;

halla los botes donde coinciden, luego verifica si hay un cruce mientras el camión se mueve entre ellos.

The truck leaves pail

n

at

50(n - 1)

and arrives at

50(n - 1) - 30;

find the pails where they coincide, then check for a crossing while the truck moves between them

Solución:

Numera los botes de modo que Michael esté en el bote

0

y el camión en el bote

1

en el tiempo

0.

Michael llega al bote

n

en

40n

segundos. El camión pasa

20

segundos entre botes y

30

detenido, así que sale del bote

n

en

50(n - 1)

segundos y (para

n \ge 2

) llega en

50(n - 1) - 30.

Michael está en el bote

n

mientras el camión también está ahí exactamente cuando

50(n-1) - 30 \le 40n

\le 50(n-1),

lo que se simplifica a

5 \le n \le 8.

Así que se encuentran en el bote

5

(en

t = 200,

cuando el camión parte), el bote

6

(

t = 240

), el bote

7

(

t = 280

), y el bote

8

(

t = 320,

cuando el camión llega).

Entre los botes

6

y

7

el camión (que se mueve a

10

pies/s) se adelanta y luego es alcanzado por Michael una vez más, añadiendo un cruce. En total, se encuentran

5

veces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Number the pails so Michael is at pail

0

and the truck at pail

1

at time

0.

Michael reaches pail

n

at

40n

seconds. The truck spends

20

seconds between pails and

30

stopped, so it leaves pail

n

at

50(n - 1)

seconds and (for

n \ge 2

) arrives at

50(n - 1) - 30.

Michael is at pail

n

while the truck is there exactly when

50(n-1) - 30 \le 40n

\le 50(n-1),

which simplifies to

5 \le n \le 8.

So they meet at pail

5

(at

t = 200,

as the truck departs), pail

6

(

t = 240

), pail

7

(

t = 280

), and pail

8

(

t = 320,

as the truck arrives).

Between pails

6

and

7

the truck (moving at

10

ft/s) pulls ahead of and is then overtaken by Michael once more, adding one crossing. In all, they meet

5

times.

Thus, the correct answer is B.