2008 AMC 12A Problema 11

Question

Tres cubos se forman cada uno a partir del patrón mostrado. Luego se apilan sobre una mesa uno encima de otro de modo que los

13

números visibles tengan la mayor suma posible. ¿Cuál es esa suma?

Three cubes are each formed from the pattern shown. They are then stacked on a table one on top of another so that the

13

visible numbers have the greatest possible sum. What is that sum?

154

159

164

167

189

Respuesta: C

Conceptos:geometría del cubo optimización

Nivel de dificultad: 1560

Pista pequeña:

En cada cubo las caras opuestas son

1

y

32,

2

y

16,

y

4

y

8

.

On each cube the opposite faces are

1

&

32,

2

&

16,

and

4

&

8

Pista grande:

Cada uno de los dos cubos inferiores oculta un par de caras opuestas; el cubo superior oculta solo su cara inferior.

The two lower cubes each hide a pair of opposite faces; the top cube hides only its bottom face

Solución:

Las seis caras de cada cubo suman

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.

Del patrón, los pares de caras opuestas son

1

y

32,

2

y

16,

y

4

y

8.

Cada uno de los dos cubos inferiores oculta un par de caras opuestas (arriba y abajo); ocultar el par

4 + 8 = 12

es lo mejor. El cubo superior oculta solo su cara inferior, así que se oculta el

1.

La mayor suma es

\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The six faces of each cube sum to

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63.

From the pattern, the pairs of opposite faces are

1

&

32,

2

&

16,

and

4

&

8.

Each of the two lower cubes hides a pair of opposite faces (top and bottom); hiding the pair

4 + 8 = 12

is best. The top cube hides only its bottom face, so hide the

1.

The greatest sum is

\begin{aligned} &3 \cdot 63 - 2 \cdot 12 - 1 \\ &= 189 - 24 - 1 \\ &= 164. \end{aligned}

Thus, C is the correct answer.