2007 AMC 12A Problema 14

Question

Sean

a,

b,

c,

d,

y

e

enteros distintos tales que

\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}

¿Cuánto vale

a+b+c+d+e

?

Let

a,

b,

c,

d,

and

e

be distinct integers such that

\begin{aligned} &(6-a)(6-b)(6-c) \\ &\quad {}\cdot(6-d)(6-e) \\ &=45. \end{aligned}

What is

a+b+c+d+e?

5

17

25

27

30

Respuesta: C

Conceptos:factorización acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1440

Pista pequeña:

Los cinco factores

6-a,\ldots,6-e

son enteros distintos cuyo producto es

45

.

The five factors

6-a,\ldots,6-e

are distinct integers whose product is

45

Pista grande:

Verifica los divisores positivos y negativos de

45

; solo

\{-3,-1,1,3,5\}

da cinco factores distintos.

Check the positive and negative divisors of

45

; only

\{-3,-1,1,3,5\}

gives five distinct factors

Solución:

Los cinco factores son enteros distintos no nulos con producto

45,

así que cada uno es un divisor positivo o negativo de

45.

Verificando

\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45,

solo el conjunto de cinco elementos

\{-3,-1,1,3,5\}

tiene producto

45.

Entonces

a,b,c,d,e

son

9,7,5,3,1

en algún orden, y su suma es

25.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The five factors are distinct nonzero integers with product

45,

so each is a positive or negative divisor of

45.

Checking

\pm1,\pm3,\pm5,\pm9,\pm15,\pm45,

only the five-element set

\{-3,-1,1,3,5\}

has product

45.

Then

a,b,c,d,e

are

9,7,5,3,1

in some order, and their sum is

25.

Thus, the correct answer is C.