2006 AMC 12A Problema 14

Question

Dos granjeros acuerdan que los cerdos valen

\$300

y que las cabras valen

\$210.

Cuando un granjero le debe dinero al otro, paga la deuda con cerdos o cabras, recibiendo “cambio” en forma de cabras o cerdos según sea necesario. (Por ejemplo, una deuda de

\$390

podría pagarse con dos cerdos, recibiendo una cabra de cambio.) ¿Cuál es el monto de la menor deuda positiva que puede saldarse de esta manera?

Two farmers agree that pigs are worth

\$300

and that goats are worth

\$210.

When one farmer owes the other money, he pays the debt in pigs or goats, with “change” received in the form of goats or pigs as necessary. (For example, a

\$390

debt could be paid with two pigs, with one goat received in change.) What is the amount of the smallest positive debt that can be resolved in this way?

\$5

\$10

\$30

\$90

\$210

Respuesta: C

Conceptos:máximo común divisor Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Una deuda saldable tiene la forma

300p + 210g

para enteros

p, g

.

A resolvable debt has the form

300p + 210g

for integers

p, g

Pista grande:

Todo valor de ese tipo es un múltiplo de

\gcd(300, 210)

.

Every such value is a multiple of

\gcd(300, 210)

Solución:

Una deuda

D

es saldable si y solo si

D = 300p + 210g

= 30(10p + 7g)

para enteros

p, g.

Así,

D

es un múltiplo de

\gcd(300, 210) = 30,

por lo que ninguna deuda positiva menor funciona.

Una deuda de

\$30

es alcanzable ya que

30 = 300(-2) + 210(3),

es decir, se entregan

3

cabras y se reciben

2

cerdos de cambio.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A debt

D

is resolvable if and only if

D = 300p + 210g

= 30(10p + 7g)

for integers

p, g.

Thus

D

is a multiple of

\gcd(300, 210) = 30,

so no smaller positive debt works.

A debt of

\$30

is achievable since

30 = 300(-2) + 210(3),

i.e. give

3

goats and receive

2

pigs in change.

Thus, the correct answer is C.