2005 AMC 12A Problema 15

Question

Sea

AB

un diámetro de un círculo y

C

un punto sobre

AB

con

2 \cdot AC = BC.

Sean

D

y

E

puntos del círculo tales que

DC \perp AB

y

DE

es un segundo diámetro. ¿Cuál es la razón entre el área de

\triangle DCE

y el área de

\triangle ABD

?

Let

AB

be a diameter of a circle and

C

be a point on

AB

with

2 \cdot AC = BC.

Let

D

and

E

be points on the circle such that

DC \perp AB

and

DE

is a second diameter. What is the ratio of the area of

\triangle DCE

to the area of

\triangle ABD?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

Respuesta: C

Conceptos:círculo razón de áreas punto medio

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Sea

O

el centro. Como

AC = \dfrac{AB}{3}

y

AO = \dfrac{AB}{2},

halla

CO

.

Let

O

be the center. Since

AC = \dfrac{AB}{3}

and

AO = \dfrac{AB}{2},

find

CO

Pista grande:

\triangle DCO

y

\triangle ECO

tienen áreas iguales porque

O

es el punto medio de

DE

.

\triangle DCO

and

\triangle ECO

have equal areas because

O

is the midpoint of

DE

Solución:

Sea

O

el centro. Como

2 \cdot AC = BC,

tenemos

AC = \dfrac{AB}{3},

y

AO = \dfrac{AB}{2},

así que

\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}

Los triángulos

DCO

y

DAB

comparten la misma altura desde

D

hasta la recta

AB,

así que

\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.

Como

O

es el punto medio de

DE,

los triángulos

DCO

y

ECO

tienen áreas iguales, así que

\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}

Así, la respuesta correcta es C.

Let

O

be the center. Since

2 \cdot AC = BC,

we have

AC = \dfrac{AB}{3},

and

AO = \dfrac{AB}{2},

so

\begin{aligned} &CO = AO - AC \\ &= \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} \\ &= \dfrac{AB}{6}. \end{aligned}

Triangles

DCO

and

DAB

share the same altitude from

D

to line

AB,

so

\dfrac{[DCO]}{[DAB]} = \dfrac{CO}{AB} = \dfrac{1}{6}.

Because

O

is the midpoint of

DE,

triangles

DCO

and

ECO

have equal areas, so

\begin{aligned} &[DCE] = 2\,[DCO] \\ &= \dfrac{2}{6}[DAB] = \dfrac{1}{3}[DAB]. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.