2004 AMC 12B Problema 21

Question

La gráfica de

2x^2 + xy + 3y^2

- 11x - 20y + 40 = 0

es una elipse en el primer cuadrante del plano

xy

. Sean

a

y

b

los valores máximo y mínimo de

\dfrac{y}{x}

sobre todos los puntos

(x, y)

de la elipse. ¿Cuál es el valor de

a + b

?

The graph of

2x^2 + xy + 3y^2

- 11x - 20y + 40 = 0

is an ellipse in the first quadrant of the

xy

-plane. Let

a

and

b

be the maximum and minimum values of

\dfrac{y}{x}

over all points

(x, y)

on the ellipse. What is the value of

a + b?

3

\sqrt{10}

\dfrac{7}{2}

\dfrac{9}{2}

2\sqrt{14}

Respuesta: C

Conceptos:elipse recta tangente Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 2080

Pista pequeña:

Los valores extremos de

\dfrac{y}{x}

provienen de rectas

y = mx

tangentes a la elipse.

The extreme values of

\dfrac{y}{x}

come from lines

y = mx

tangent to the ellipse

Pista grande:

Sustituye

y = mx

e iguala a cero el discriminante de la cuadrática resultante en

x

.

Substitute

y = mx

and set the discriminant of the resulting quadratic in

x

to zero

Solución:

Las pendientes

a

y

b

son los valores de

m

para los cuales

y = mx

corta a la elipse en exactamente un punto. Al sustituir se obtiene

\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}

Igualar a cero su discriminante da

-80m^2 + 280m - 199 = 0.

Por las fórmulas de Vieta,

a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The slopes

a

and

b

are the values of

m

for which

y = mx

meets the ellipse in exactly one point. Substituting gives

\begin{aligned} &(3m^2 + m + 2)x^2 \\ &\quad {}- (20m + 11)x + 40 = 0. \end{aligned}

Setting its discriminant to zero yields

-80m^2 + 280m - 199 = 0.

By Vieta’s formulas,

a + b = \dfrac{280}{80} = \dfrac{7}{2}.

Thus, the correct answer is C.