2004 AMC 12B Problema 14

Question

En

\triangle ABC,

AB = 13,

AC = 5

y

BC = 12.

Los puntos

M

y

N

están en

\overline{AC}

y

\overline{BC},

respectivamente, con

CM = CN = 4.

Los puntos

J

y

K

están en

\overline{AB}

de modo que

\overline{MJ}

y

\overline{NK}

son perpendiculares a

\overline{AB}.

¿Cuál es el área del pentágono

CMJKN

?

In

\triangle ABC,

AB = 13,

AC = 5

and

BC = 12.

Points

M

and

N

lie on

\overline{AC}

and

\overline{BC},

respectively, with

CM = CN = 4.

Points

J

and

K

are on

\overline{AB}

so that

\overline{MJ}

and

\overline{NK}

are perpendicular to

\overline{AB}.

What is the area of pentagon

CMJKN?

15

\dfrac{81}{5}

\dfrac{205}{12}

\dfrac{240}{13}

20

Respuesta: D

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

\triangle ABC

es rectángulo en

C

porque

5^2 + 12^2 = 13^2

.

\triangle ABC

is right-angled at

C

since

5^2 + 12^2 = 13^2

Pista grande:

\triangle AMJ

y

\triangle NBK

son semejantes a

\triangle ABC

con hipotenusas

AM = 1

y

BN = 8

.

\triangle AMJ

and

\triangle NBK

are similar to

\triangle ABC

with hypotenuses

AM = 1

and

BN = 8

Solución:

Como

5^2 + 12^2 = 13^2,

\triangle ABC

es rectángulo en

C

con área

\tfrac12 (5)(12) = 30.

Los pequeños triángulos rectángulos

\triangle AMJ

y

\triangle NBK

son cada uno semejantes a

\triangle ABC,

con hipotenusas

AM = 5 - 4 = 1

y

BN = 12 - 4 = 8.

Sus áreas son

\left(\dfrac{1}{13}\right)^2 (30)

y

\left(\dfrac{8}{13}\right)^2 (30).

El pentágono es lo que queda:

\begin{gathered} \left(1 - \dfrac{1}{169} - \dfrac{64}{169}\right)(30) \\ {}= \dfrac{104}{169}(30) = \dfrac{240}{13}. \end{gathered}

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

5^2 + 12^2 = 13^2,

\triangle ABC

is right-angled at

C

with area

\tfrac12 (5)(12) = 30.

The small right triangles

\triangle AMJ

and

\triangle NBK

are each similar to

\triangle ABC,

with hypotenuses

AM = 5 - 4 = 1

and

BN = 12 - 4 = 8.

Their areas are

\left(\dfrac{1}{13}\right)^2 (30)

and

\left(\dfrac{8}{13}\right)^2 (30).

The pentagon is what remains:

\begin{gathered} \left(1 - \dfrac{1}{169} - \dfrac{64}{169}\right)(30) \\ {}= \dfrac{104}{169}(30) = \dfrac{240}{13}. \end{gathered}

Thus, the correct answer is D.