2004 AMC 12A Problema 20

Question

Selecciona números

a

y

b

entre

0

y

1

de manera independiente y al azar, y sea

c

su suma. Sean

A,

B,

y

C

los resultados cuando

a,

b,

y

c,

respectivamente, se redondean al entero más cercano. ¿Cuál es la probabilidad de que

A + B = C

?

Select numbers

a

and

b

between

0

and

1

independently and at random, and let

c

be their sum. Let

A,

B,

and

C

be the results when

a,

b,

and

c,

respectively, are rounded to the nearest integer. What is the probability that

A + B = C?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

Respuesta: E

Conceptos:probabilidad geométrica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Modela

(a, b)

como un punto aleatorio en el cuadrado unitario y divide según si cada uno de

a, b

está por debajo de

\tfrac12

.

Model

(a, b)

as a random point in the unit square and split by whether each of

a, b

is below

\tfrac12

Pista grande:

La condición falla solo cuando

a, b \ge \tfrac12

pero

a + b \lt \tfrac32,

o

a, b \lt \tfrac12

pero

a + b \ge \tfrac12

.

The condition fails only when

a, b \ge \tfrac12

but

a + b \lt \tfrac32,

or

a, b \lt \tfrac12

but

a + b \ge \tfrac12

Solución:

Representemos las elecciones como un punto

(a, b)

del cuadrado unitario. Cada uno de

a

y

b

se redondea a

0

si es menor que

\tfrac12

, y a

1

en caso contrario, mientras que

c = a + b

se redondea según

\tfrac12

y

\tfrac32.

La ecuación falla exactamente en dos regiones. Si

a, b \lt \tfrac12,

falla cuando

a + b \ge \tfrac12;

este es un triángulo rectángulo de área

\tfrac18.

Si

a, b \ge \tfrac12,

falla cuando

a + b \lt \tfrac32;

este es otro triángulo rectángulo de área

\tfrac18.

Cuando exactamente uno de

a, b

es al menos

\tfrac12,

la ecuación siempre se cumple.

Así, la probabilidad de que falle es

\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,

y la probabilidad pedida es

1 - \tfrac14 = \tfrac34.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

Represent the choices as a point

(a, b)

in the unit square. Each of

a

and

b

rounds to

0

if below

\tfrac12

and to

1

otherwise, while

c = a + b

rounds based on

\tfrac12

and

\tfrac32.

The equation fails in exactly two regions. If

a, b \lt \tfrac12,

it fails when

a + b \ge \tfrac12;

this is a right triangle of area

\tfrac18.

If

a, b \ge \tfrac12,

it fails when

a + b \lt \tfrac32;

this is another right triangle of area

\tfrac18.

When exactly one of

a, b

is at least

\tfrac12,

the equation always holds.

Thus the failure probability is

\tfrac18 + \tfrac18 = \tfrac14,

so the requested probability is

1 - \tfrac14 = \tfrac34.

Thus, the correct answer is E.