Question

La alcancía de Penniless Pete no tiene ni un centavo, pero tiene $100$ monedas, todas de cinco, diez y veinticinco centavos, cuyo valor total es $\$8.35.$ No necesariamente contiene monedas de los tres tipos. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor cantidad de monedas de diez centavos que podría haber en la alcancía?

Penniless Pete's piggy bank has no pennies in it, but it has $100$ coins, all nickels, dimes, and quarters, whose total value is $\$8.35.$ It does not necessarily contain coins of all three types. What is the difference between the largest and smallest number of dimes that could be in the bank?

$0$

$13$

$37$

$64$

$83$

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

Sean $n,$ $d,$ $q$ las cantidades de monedas de cinco, diez y veinticinco centavos. Entonces $n + d + q = 100$ y $n + 2d + 5q = 167$ (dividiendo la ecuación del valor entre $5$ ).

Al restar se obtiene $d + 4q = 67,$ así que $d = 67 - 4q.$

El mayor $d$ ocurre en $q = 0,$ dando $d = 67$ (con $n = 33$ ). El menor ocurre en $q = 16,$ dando $d = 3$ (con $n = 81$ ). La diferencia es $67 - 3 = 64.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $n,$ $d,$ $q$ be the numbers of nickels, dimes, quarters. Then $n + d + q = 100$ and $n + 2d + 5q = 167$ (dividing the value equation by $5$ ).

Subtracting gives $d + 4q = 67,$ so $d = 67 - 4q.$

The largest $d$ is at $q = 0,$ giving $d = 67$ (with $n = 33$ ). The smallest occurs at $q = 16,$ giving $d = 3$ (with $n = 81$ ). The difference is $67 - 3 = 64.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12B Problema 7

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1430

Solución:

El Problema 7 en otros años