2003 AMC 12B Problema 7

Question

La alcancía de Penniless Pete no tiene ni un centavo, pero tiene

100

monedas, todas de cinco, diez y veinticinco centavos, cuyo valor total es

\$8.35.

No necesariamente contiene monedas de los tres tipos. ¿Cuál es la diferencia entre la mayor y la menor cantidad de monedas de diez centavos que podría haber en la alcancía?

Penniless Pete’s piggy bank has no pennies in it, but it has

100

coins, all nickels, dimes, and quarters, whose total value is

\$8.35.

It does not necessarily contain coins of all three types. What is the difference between the largest and smallest number of dimes that could be in the bank?

0

13

37

64

83

Respuesta: D

Conceptos:sistema de ecuaciones Ecuación diofántica acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1430

Pista pequeña:

Con

n

monedas de cinco,

d

de diez y

q

de veinticinco centavos:

n + d + q = 100

y

5n + 10d + 25q = 835

With

n

nickels,

d

dimes,

q

quarters:

n + d + q = 100

and

5n + 10d + 25q = 835

Pista grande:

Elimina

n

para obtener

d + 4q = 67,

luego acota

q

de modo que

n,d,q \ge 0

sean enteros

Eliminate

n

to get

d + 4q = 67,

then bound

q

so that

n,d,q \ge 0

are integers

Solución:

Sean

n,

d,

q

las cantidades de monedas de cinco, diez y veinticinco centavos. Entonces

n + d + q = 100

y

n + 2d + 5q = 167

(dividiendo la ecuación del valor entre

5

).

Al restar se obtiene

d + 4q = 67,

así que

d = 67 - 4q.

El mayor

d

ocurre en

q = 0,

dando

d = 67

(con

n = 33

). El menor ocurre en

q = 16,

dando

d = 3

(con

n = 81

). La diferencia es

67 - 3 = 64.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

n,

d,

q

be the numbers of nickels, dimes, quarters. Then

n + d + q = 100

and

n + 2d + 5q = 167

(dividing the value equation by

5

).

Subtracting gives

d + 4q = 67,

so

d = 67 - 4q.

The largest

d

is at

q = 0,

giving

d = 67

(with

n = 33

). The smallest occurs at

q = 16,