2003 AMC 12A Problema 21

Question

La gráfica del polinomio

\begin{aligned} &P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 \\ &\quad {}+ cx^2 + dx + e \end{aligned}

tiene cinco intersecciones distintas con el eje

x

, una de las cuales está en

(0, 0).

¿Cuál de los siguientes coeficientes no puede ser cero?

The graph of the polynomial

\begin{aligned} &P(x) = x^5 + ax^4 + bx^3 \\ &\quad {}+ cx^2 + dx + e \end{aligned}

has five distinct

x

-intercepts, one of which is at

(0, 0).

Which of the following coefficients cannot be zero?

a

b

c

d

e

P(0)=0

obliga a que

e=0

.

P(0)=0

forces

e=0

Factoriza

x;

el término constante del cuártico restante es el producto de las cuatro raíces no nulas.

Factor out

x;

the constant term of the remaining quartic is the product of the four nonzero roots

Como

(0,0)

es una intersección,

P(0)=e=0,

así que

P(x)

=x\left(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right).

Las cuatro intersecciones restantes son no nulas y distintas, y

d

es igual a su producto, que por lo tanto es no nulo.

Cualquiera de

a,b,c

puede ser cero para elecciones adecuadas de esas raíces, pero

d\neq0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since

(0,0)

is an intercept,

P(0)=e=0,

so

P(x)

=x\left(x^4+ax^3+bx^2+cx+d\right).

The four remaining intercepts are nonzero and distinct, and

d

equals their product, which is therefore nonzero.

Any of

a,b,c

can be zero for suitable choices of those roots, but

d\neq0.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 21 en otros años