2002 AMC 12B Problema 14

Question

Se dibujan cuatro círculos distintos en un plano. ¿Cuál es el número máximo de puntos donde se cortan al menos dos de los círculos?

Four distinct circles are drawn in a plane. What is the maximum number of points where at least two of the circles intersect?

8

9

10

12

16

Dos círculos distintos se cortan en a lo sumo

2

puntos.

Two distinct circles meet in at most

2

points

Hay

\binom{4}{2}

pares de círculos; multiplica por

2

.

There are

\binom{4}{2}

pairs of circles; multiply by

2

Cada par de círculos se corta en a lo sumo

2

puntos, y hay

\binom{4}{2}=6

pares, lo que da a lo sumo

6\cdot2=12

puntos de intersección.

La cota se alcanza tomando cuatro círculos en posición general, de modo que cada par se corte dos veces y no haya tres que pasen por el mismo punto.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each pair of circles meets in at most

2

points, and there are

\binom{4}{2}=6

pairs, giving at most

6\cdot2=12

intersection points.

The bound is attainable by taking four circles in general position so that every pair crosses twice and no three pass through the same point.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 14 en otros años