2001 AMC 12 Problema 15

Question

Un insecto vive en la superficie de un tetraedro regular con aristas de longitud

1.

Desea viajar sobre la superficie del tetraedro desde el punto medio de una arista hasta el punto medio de la arista opuesta. ¿Cuál es la longitud del trayecto más corto? (Nota: dos aristas de un tetraedro son opuestas si no tienen ningún extremo común.)

An insect lives on the surface of a regular tetrahedron with edges of length

1.

It wishes to travel on the surface of the tetrahedron from the midpoint of one edge to the midpoint of the opposite edge. What is the length of the shortest such trip? (Note: Two edges of a tetrahedron are opposite if they have no common endpoint.)

\dfrac{1}{2}\sqrt{3}

1

\sqrt{2}

\dfrac{3}{2}

2

Respuesta: B

Conceptos:desarrollo plano (geometría 3D)Geometría 3D rombo

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Despliega las dos caras que cruza la trayectoria en una sola figura plana

Unfold the two faces the path crosses into a single flat figure

Pista grande:

Las dos caras forman un rombo de lado

1,

y los puntos medios se convierten en puntos medios de lados opuestos

The two faces form a rhombus of side

1,

and the midpoints become midpoints of opposite sides

Solución:

Un trayecto más corto sale de la arista inicial por una de las dos caras que la contienen y llega a la arista opuesta por una de las dos caras que contienen a esta. Cualquier par de caras así comparte una arista. Al desplegar ese par se obtiene un rombo de lado

1

formado por dos triángulos equiláteros.

Los dos puntos medios de aristas opuestas se convierten en los puntos medios de lados opuestos de este rombo, que están exactamente a

1

unidad de distancia a lo largo de un segmento recto. Doblar de vuelta preserva la longitud, así que el trayecto más corto es

1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A shortest path leaves the starting edge through one of its two incident faces and reaches the opposite edge through one of its two incident faces. Any such pair of faces shares an edge. Unfolding that pair gives a rhombus of side

1

made of two equilateral triangles.

The two opposite-edge midpoints become the midpoints of opposite sides of this rhombus, which are exactly

1

unit apart along a straight segment. Folding back preserves the length, so the shortest trip is

1.

Thus, the correct answer is B.