2001 AMC 12 Problema 14

Question

Dado el polígono regular de nueve lados

A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,

¿cuántos triángulos equiláteros distintos en el plano del polígono tienen al menos dos vértices en el conjunto

\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}

?

Given the nine-sided regular polygon

A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,

how many distinct equilateral triangles in the plane of the polygon have at least two vertices in the set

\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}?

30

36

63

66

72

Cada par de vértices es un lado de exactamente dos triángulos equiláteros

Each pair of vertices is a side of exactly two equilateral triangles

Esto cuenta

2\binom{9}{2}

triángulos, pero los tres triángulos con todos los vértices se cuentan tres veces cada uno

This counts

2\binom{9}{2}

triangles, but the three all-vertex triangles get counted three times each

Cada uno de los

\binom{9}{2} = 36

pares de vértices es un lado de exactamente dos triángulos equiláteros, lo que da

72

triángulos contados con multiplicidad.

Los triángulos

A_1 A_4 A_7,

A_2 A_5 A_8,

y

A_3 A_6 A_9

tienen sus tres vértices en el conjunto, así que cada uno se cuenta tres veces en lugar de una, un exceso de

2

cada uno.

El número de triángulos distintos es

72 - 3 \cdot 2 = 66.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each of the

\binom{9}{2} = 36

pairs of vertices is a side of exactly two equilateral triangles, giving

72

triangles counted with multiplicity.

The triangles

A_1 A_4 A_7,

A_2 A_5 A_8,

and

A_3 A_6 A_9

have all three vertices in the set, so each is counted three times instead of once, an overcount of

2

apiece.

The number of distinct triangles is

72 - 3 \cdot 2 = 66.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 14 en otros años