1996 AMC 12 Problema 20

Question

En el plano

xy

, ¿cuál es la longitud del camino más corto de

(0,0)

a

(12,16)

que no entra en el círculo

(x-6)^2+(y-8)^2=25

?

In the

xy

-plane, what is the length of the shortest path from

(0,0)

to

(12,16)

that does not go inside the circle

(x-6)^2+(y-8)^2=25?

10\sqrt3

10\sqrt5

10\sqrt3+\frac{5\pi}{3}

\frac{40\sqrt3}{3}

10+5\pi

El centro del círculo es el punto medio de los dos extremos

The circle’s center is the midpoint of the two endpoints

El camino permitido más corto consta de dos segmentos tangentes y el arco menor entre sus puntos de tangencia

The shortest permitted path consists of two tangent segments and the shorter arc between their tangency points

Cada extremo está a

10

unidades del centro del círculo, así que cada segmento tangente tiene longitud

\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.

En el triángulo rectángulo de un punto de tangencia, el ángulo en el centro mide

60^\circ.

Como los rayos hacia los extremos son opuestos, el arco menor intermedio subtiende

180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,

por lo que su longitud es

\frac{5\pi}{3}.

El total es

10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},

y la respuesta correcta es C.

Each endpoint is

10

units from the circle’s center, so each tangent segment has length

\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3.

In the right triangle at a tangency point, the angle at the center is

60^\circ.

Since the endpoint rays are opposite, the intervening minor arc subtends

180^\circ-2(60^\circ)=60^\circ,

so its length is

\frac{5\pi}{3}.

The total is

10\sqrt3+\frac{5\pi}{3},

and the correct answer is C.

El Problema 20 en otros años