1992 AMC 12 Problema 20

Question

Se muestra parte de una “estrella regular de

n

puntas”. Es un polígono simple cerrado en el cual las

2n

aristas son congruentes, los ángulos

A_1,

A_2,

\ldots,

A_n

son congruentes y los ángulos

B_1,

B_2,

\ldots,

B_n

son congruentes. Si el ángulo agudo en

A_1

mide

10^\circ

menos que el ángulo agudo en

B_1,

entonces

n=

Part of an “

n

-pointed regular star” is shown. It is a simple closed polygon in which all

2n

edges are congruent, angles

A_1,

A_2,

\ldots,

A_n

are congruent, and angles

B_1,

B_2,

\ldots,

B_n

are congruent. If the acute angle at

A_1

is

10^\circ

less than the acute angle at

B_1,

then

n=

12

18

24

36

60

Respuesta: D

Conceptos:polygon angle sum concave polygon regular star

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sean los ángulos agudos en los vértices de tipo

A

y

B

iguales a

\alpha

y

\beta

, respectivamente

Let the acute angles at the

A

- and

B

-vertices be

\alpha

and

\beta

Pista grande:

En cada vértice entrante de tipo

B

, el ángulo interior del polígono es

360^\circ-\beta

At each inward

B

-vertex, the polygon’s interior angle is

360^\circ-\beta

Solución:

Sean

\alpha

y

\beta

los ángulos agudos en las puntas y las muescas, respectivamente, de modo que

\beta-\alpha=10^\circ.

El polígono de

2n

lados tiene

n

ángulos interiores

\alpha

y

n

ángulos interiores reflejos

360^\circ-\beta.

Por tanto,

\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}

Al sustituir

\beta-\alpha=10^\circ

se obtiene

350n=360n-360,

así que

n=36.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the acute angles at the tips and notches be

\alpha

and

\beta,

respectively, so

\beta-\alpha=10^\circ.

The

2n

-gon has

n

interior angles

\alpha

and

n

reflex interior angles

360^\circ-\beta.

Therefore

\begin{gathered} n\alpha+n(360^\circ-\beta)\\ {}=(2n-2)180^\circ. \end{gathered}

Substituting

\beta-\alpha=10^\circ

gives

350n=360n-360,

so

n=36.

Thus the correct answer is D.