1987 AMC 12 Problema 6

Question

En el

\triangle ABC

mostrado,

D

es un punto interior, y

x,

y,

z,

w

son las medidas de los ángulos en grados. Expresa

x

en función de

y,

z

y

w.

In the

\triangle ABC

shown,

D

is some interior point, and

x,

y,

z,

w

are the measures of angles in degrees. Solve for

x

in terms of

y,

z,

and

w.

w-y-z

w-2y-2z

180-w-y-z

2w-y-z

180-w+y+z

Respuesta: A

Conceptos:triangle angle sum angle subtraction interior point

Nivel de dificultad: 1290

Pista pequeña:

Nombra los dos ángulos no marcados en

A

y

B

dentro del triángulo

ADB

Name the two unlabelled angles at

A

and

B

inside triangle

ADB

Pista grande:

Resta la suma de los ángulos de

\triangle ADB

de la de

\triangle ABC

Subtract the angle sum of

\triangle ADB

from that of

\triangle ABC

Solución:

Sean los ángulos no marcados del triángulo

ADB

en

A

y

B

iguales a

\alpha

y

\beta,

respectivamente. Entonces

\alpha+\beta+w=180^\circ.

La suma de los ángulos del triángulo

ABC

da

(\alpha+y)+(\beta+z)+x=180^\circ.

Al restar obtenemos

x+y+z=w,

por lo que

x=w-y-z.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the unlabelled angles of triangle

ADB

at

A

and

B

be

\alpha

and

\beta.

Then

\alpha+\beta+w=180^\circ.

The angle sum of triangle

ABC

gives

(\alpha+y)+(\beta+z)+x=180^\circ.

Subtracting yields

x+y+z=w,

so

x=w-y-z.

Thus the correct answer is A.