1987 AMC 12 Problema 20

Question

Evalúa

\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}

Evaluate

\begin{aligned} &\log_{10}(\tan1^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan2^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan3^\circ)+\cdots\\ &\quad+\log_{10}(\tan88^\circ)\\ &\quad+\log_{10}(\tan89^\circ). \end{aligned}

0

\frac12\log_{10}\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)

\frac12\log_{10}2

1

ninguna de estas

none of these

Empareja el término del ángulo

k^\circ

con el del ángulo

(90-k)^\circ

Pair the term at angle

k^\circ

with the term at angle

(90-k)^\circ

Usa

\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta

antes de combinar los logaritmos

Use

\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta

before combining logarithms

Para cada

k=1,\ldots,44,

\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.

Así, cada suma emparejada de logaritmos es

\log_{10}1=0.

El término central restante es

\log_{10}(\tan45^\circ)=0.

Por tanto, la suma completa es

0.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For each

k=1,\ldots,44,

\tan k^\circ\tan(90^\circ-k^\circ)=1.

Thus each paired sum of logarithms is

\log_{10}1=0.

The remaining middle term is

\log_{10}(\tan45^\circ)=0.

Hence the whole sum is

0.

Thus the correct answer is A.

El Problema 20 en otros años