2024 AMC 12A 第 20 题

Question

在等边三角形

\triangle ABC

中，点

P

和

Q

分别在边

\overline{AB}

与

\overline{AC}

上独立均匀随机选取。下面哪个区间包含

\triangle APQ

的面积小于

\triangle ABC

面积一半的概率？

Points

P

and

Q

are chosen uniformly and independently at random on sides

\overline{AB}

and

\overline{AC},

respectively, of equilateral triangle

\triangle ABC.

Which of the following intervals contains the probability that the area of

\triangle APQ

is less than half the area of

\triangle ABC?

\left[\tfrac38,\tfrac12\right]

\left(\tfrac12,\tfrac23\right]

\left(\tfrac23,\tfrac34\right]

\left(\tfrac34,\tfrac78\right]

\left(\tfrac78,1\right]

答案：D

知识点：几何概率面积比

难度评级：2100

小提示：

令

x=\dfrac{AP}{AB}

、

y=\dfrac{AQ}{AC}

，它们在

[0,1]

上均匀分布；面积比为

xy

。

Let

x=\dfrac{AP}{AB}

and

y=\dfrac{AQ}{AC}

be uniform on

[0,1];

the area ratio is

xy

大提示：

计算

P(xy\ge\tfrac12)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\tfrac{1}{2x}\right)dx

，再用

1

减去它

Compute

P(xy\ge\tfrac12)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\tfrac{1}{2x}\right)dx

and subtract from

1

解答：

令

x=\tfrac{AP}{AB}

，

y=\tfrac{AQ}{AC}

，二者在

[0,1]

上均匀分布，则面积比

\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy

。补事件

xy\ge\tfrac12

要求

x\ge\tfrac12

，且

y\in[\tfrac{1}{2x},1]

，其概率为

\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153 \end{aligned}\text{。}

因此

P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847

，落在

\left(\tfrac34,\tfrac78\right]

中。因此正确答案是 D。

With

x=\tfrac{AP}{AB}

and

y=\tfrac{AQ}{AC}

uniform on

[0,1],

the area ratio

\tfrac{[APQ]}{[ABC]}=xy.

The complementary event

xy\ge\tfrac12

requires

x\ge\tfrac12

and

y\in[\tfrac{1}{2x},1],

with probability

\begin{aligned} &\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1-\frac{1}{2x}\right)dx \\ &=\frac12-\frac{\ln2}{2}\approx0.153. \end{aligned}

Therefore

P(xy\lt\tfrac12)\approx1-0.153=0.847,

which lies in

\left(\tfrac34,\tfrac78\right].

Thus, the correct answer is D.

2024 AMC 12A 第 20 题

答案：D

难度评级：2100

小提示：

大提示：

解答：

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