Question

设 $x_0, x_1, x_2, \ldots$ 是一个数列，其中每个 $x_k$ 都是 $0$ 或 $1$ 。对每个正整数 $n$ ，定义假设对所有 $n \ge 1$ 都有 $7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ 。求下面的值。 $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k.$ $x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?$

Let $x_0, x_1, x_2, \ldots$ be a sequence of numbers, where each $x_k$ is either $0$ or $1.$ For each positive integer $n,$ define $S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k.$ Suppose $7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n}$ for all $n \ge 1.$ What is the value of the sum $x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?$

$6$

$7$

$12$

$14$

$15$

答案：A

知识点：模运算进制找规律

难度评级：2270

解答：

因为 $S_n$ 是由低 $n$ 位构成的整数，条件 $7S_n \equiv 1$ 表示 $S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}$ 对每个 $n$ 都成立。因此 $x_k$ 是以 $2$ 为底表示 $\tfrac17$ 时的数位，也就是它作为 $2$ -进数时的数位。

用 $2$ 进制长除可得 $x_0 = x_1 = x_2 = 1$ ，之后以 $3$ 为周期重复：当 $k \ge 1$ 时，恰在 $3 \mid k$ 的情况下有 $x_k = 0$ ，否则 $x_k = 1$ 。

因为 $3 \mid 2019$ 且 $3 \mid 2022$ 而 $2020 \equiv 1$ 、 $2021 \equiv 2 \pmod 3$ 所以 $x_{2019} = 0$ $x_{2020} = 1$ $x_{2021} = 1$ $x_{2022} = 0$ 所求和为 $0 + 2 + 4 + 0 = 6$ 。

所以正确答案是 A。

Since $S_n$ is the integer formed by the low $n$ bits, the condition $7S_n \equiv 1$ means $S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}$ for every $n.$ Thus the digits $x_k$ are the base- $2$ digits of $\tfrac17$ as a $2$ -adic number.

Long division in base $2$ gives digits $x_0 = x_1 = x_2 = 1,$ and thereafter the block repeats with period $3:$ for $k \ge 1,$ $x_k = 0$ exactly when $3 \mid k,$ and $x_k = 1$ otherwise.

Since $3 \mid 2019$ and $3 \mid 2022,$ while $2020 \equiv 1$ and $2021 \equiv 2 \pmod 3,$ we get $x_{2019} = 0,$ $x_{2020} = 1,$ $x_{2021} = 1,$ $x_{2022} = 0.$ The sum is $0 + 2 + 4 + 0 = 6.$

Thus, the correct answer is A.

2022 AMC 12B 第 23 题

答案：A

难度评级：2270

解答：

其他年份的第 23 题