2022 AMC 12B 第 23 题

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23.

设

x_0

，

x_1

，

x_2

，

\ldots

是一个数列，其中每个

x_k

都是

0

或

1

。对每个正整数

n

，定义

S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k\text{。}

假设对所有

n \ge 1

都有

7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n}

。求下面这个和的值：

x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}\text{？}

Let

x_0,

x_1,

x_2,

\ldots

be a sequence of numbers, where each

x_k

is either

0

or

1.

For each positive integer

n,

define

S_n = \sum_{k=0}^{n-1} x_k 2^k.

Suppose

7 S_n \equiv 1 \pmod{2^n}

for all

n \ge 1.

What is the value of the sum

x_{2019} + 2x_{2020} + 4x_{2021} + 8x_{2022}?

6

7

12

14

15

答案：A

知识点：模运算进制找规律

难度评级：2270

小提示：

S_n

是低

n

位二元数；条件说明

S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}

。

S_n

is the number formed by the low

n

bits; the condition says

S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}

大提示：

因此

x_k

是

\tfrac17

的二进制（即二进数）数字；找出其循环模式。

So the bits

x_k

are the binary (2-adic) digits of

\tfrac17;

find their repeating pattern

解答：

因为

S_n

是由低

n

位构成的整数，条件

7S_n \equiv 1

表示

S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}

对每个

n

都成立。因此

x_k

是以

2

为底表示

\tfrac17

时的数位，也就是它作为

2

-进数时的数位。

用

2

进制长除可得

x_0 = x_1 = x_2 = 1

，之后以

3

为周期重复：当

k \ge 1

时，恰在

k

是

3

的倍数时有

x_k = 0

，否则

x_k = 1

。

因为

2019

和

2022

都是

3

的倍数，而

2020 \equiv 1

、

2021 \equiv 2 \pmod 3

，所以

x_{2019} = 0

、

x_{2020} = 1

、

x_{2021} = 1

、

x_{2022} = 0

。所求和为

0 + 2 + 4 + 0 = 6

。

所以正确答案是 A。

Since

S_n

is the integer formed by the low

n

bits, the condition

7S_n \equiv 1

means

S_n \equiv 7^{-1} \pmod{2^n}

for every

n.

Thus the digits

x_k

are the base-

2

digits of

\tfrac17

as a

2

-adic number.

Long division in base

2

gives digits

x_0 = x_1 = x_2 = 1,

and thereafter the block repeats with period

3:

for

k \ge 1,

x_k = 0

exactly when

k

is divisible by

3,

and

x_k = 1

otherwise.

Since

2019

and

2022

are both divisible by

3,

while

2020 \equiv 1

and

2021 \equiv 2 \pmod 3,

we get

x_{2019} = 0,

x_{2020} = 1,

x_{2021} = 1,

x_{2022} = 0.

The sum is

0 + 2 + 4 + 0 = 6.

Thus, the correct answer is A.

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