Question

设 $ABCDEF$ 是边长为 $1$ 的正六边形。记 $X$ 、 $Y$ 和 $Z$ 分别为边 $AB$ 、 $CD$ 和 $EF$ 的中点。内部区域为 $\triangle ACE$ 与 $\triangle XYZ$ 的内部交集的凸六边形面积是多少？

Let $ABCDEF$ be a regular hexagon with side length $1.$ Denote by $X,$ $Y,$ and $Z$ the midpoints of sides $AB,$ $CD,$ and $EF,$ respectively. What is the area of the convex hexagon whose interior is the intersection of the interiors of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ?$

$\dfrac{3}{8}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{16}\sqrt{3}$

$\dfrac{15}{32}\sqrt{3}$

$\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\dfrac{9}{16}\sqrt{3}$

答案：C

知识点：正多边形面积比等边三角形

难度评级：2270

解答：

$A=(1,0)$ 和 $C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2})$ 都是等边三角形，且 $E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2})$ 面积为正六边形面积的一半。两个三角形相交形成的顶点，使阴影六边形可以和 $X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4})$ 的中点三角形 $Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4})$ 作比较。 $Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2})$ 。

这个中点三角形的面积是 $\triangle ACE$ 面积的 $\triangle XYZ$ ，也就是正六边形面积的 $\dfrac{15\sqrt3}{32}$ 。阴影区域等于这个中点三角形的倍，所以它是正六边形面积的。 $\begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered}$

正六边形面积为因此阴影面积为所以正确答案是 C。

Place the regular hexagon on the unit circle with $A=(1,0),$ $C=(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}),$ and $E=(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}).$ The three specified midpoints are $X=(\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),$ $Y=(-\tfrac34,\tfrac{\sqrt3}{4}),$ and $Z=(0,-\tfrac{\sqrt3}{2}).$

Intersecting the side lines of $\triangle ACE$ and $\triangle XYZ$ gives the six vertices of their common interior, in cyclic order: $\begin{gathered} (-\tfrac12,0),\quad (-\tfrac18,-\tfrac{3\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,-\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (\tfrac58,\tfrac{\sqrt3}{8}),\\ (\tfrac14,\tfrac{\sqrt3}{4}),\quad (-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{4}). \end{gathered}$ The shoelace formula applied to these vertices gives area $\dfrac{15\sqrt3}{32}.$

Thus, the correct answer is C.

2018 AMC 12B 第 20 题

答案：C

难度评级：2270

解答：

其他年份的第 20 题